Aufgabe 4.2: Wieder Dreieckgebiet
Wir betrachten die gleiche Zufallsgröße ($x$, $y$) wie in Aufgabe 4.1:
- In einem durch die Eckpunkte (0,1), (4,3) und (4,5) definierten dreieckförmigen Gebiet $D$ sei die 2D–WDF $f_{xy} (x, y) = 0.25$. *Außerhalb dieses in der Grafik rot markierten Definitionsgebietes $D$ gibt es keine Werte.
Weiterhin sind in der Grafik die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten bezüglich den Größen $x$ und $y$ eingezeichnet, die bereits in der Aufgabe 4.1 ermittelt wurden. Daraus lassen sich mit den Gleichungen des Kapitels Erwartungswerte und Momente die Kenngrößen der beiden Zufallsgrößen bestimmen:
$$m_x=8/3 ,\hspace{0.5cm} \sigma_x=\sqrt{8/9},$$
$$ m_y= 3,\hspace{0.95cm} \sigma_y = \sqrt{\rm 2/3}.$$
Aufgrund der Tatsache, dass das Definitionsgebiet $D$ durch zwei Gerade $y_1(x)$ und $y_2(x)$ begrenzt ist, kann hier das gemeinsame Moment erster Ordnung wie folgt berechnet werden. $$m_{xy}={\rm E}[x\cdot y]=\int_{x_{1}}^{x_{2}}x\cdot \int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}y \cdot f_{xy}(x,y) \, \,{\rm d}y\, {\rm d}x.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Zufallsgrößen.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Erwartungswerte und Momente.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- Sowohl $y_1(x)$ als auch $y_2(x)$ schneiden die $y$-Achse bei $y= 1$.
- Die untere Begrenzungslinie hat die Steigung $0.5$, die obere die Steigung $1$.
(2) Entsprechend den Hinweisen erhalten wir:
- $$m_{xy}=\int_{\rm 0}^{\rm 4} x \cdot \int_{\it x/\rm 2 +\rm 1}^{\it x+\rm 1} {1}/{4}\cdot y \, \,{\rm d}y\,\, \, {\rm d}x = {1}/{8}\cdot \int_{\rm 0}^{\rm 4} x\cdot[( x+ 1)^{\rm 2}- ({ x}/{2}+1)^{\rm 2} ] \,\, {\rm d}x.$$
Dies führt zum Integral bzw. Endergebnis:
- $$m_{xy}={1}/{8}\int_{\rm 0}^{\rm 4}(\rm\frac{3}{4}\it x^{\rm 3}{\rm +}\it x^{\rm 2}\rm )\,{\rm d}x = \rm \frac{1}{8} \cdot (\frac{3}{16}\cdot 4^4+\rm \frac{4^3}{3})=\frac{26}{3}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 8.667}.$$
(3) Da beide Zufallsgrößen jeweils einen Mittelwert ungleich $0$ besitzen, folgt für die Kovarianz:
- $$\it \mu_{xy}=\it m_{xy}-m_{x}\cdot m_{y}=\frac{\rm 26}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm 3}\cdot\rm 3={2}/{3} \hspace{0.15cm}\underline{=0.667}.$$
(4) Mit den angegebenen Streuungen erhält man:
- $$\rho_{xy}=\frac{\mu_{xy}}{\sigma_{x}\cdot\sigma_{y}}=\frac{{\rm 2}/{\rm 3}}{\sqrt{{\rm 8}/{\rm 9}}\cdot\sqrt{{\rm 2}/{\rm 3}}}=\sqrt{0.75}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.866}.$$
(5) Für die Korrelationsgerade (KG) gilt allgemein:
- $$ y-m_{y}=\rho_{xy}\cdot\frac{\sigma_{y}}{\sigma_ {x}}\cdot(x-m_{x}).$$
Mit den oben berechneten Zahlenwerten erhält man $$y={\rm 3}/{\rm 4}\cdot x +\rm 1.$$
Die Korrelationsgerade schneidet die $y$-Achse bei $\underline{y=1}$ und geht auch durch den Punkt $(4, 4)$. Jedes andere Ergebnis wäre auch nicht zu interpretieren, wenn man das Definitionsgebiet betrachtet:
- Setzt man $m_x = 8/3$ ein, so erhält man $y = m_y = 3$.
- Das heißt: Die berechnete Korrelationsgerade geht tatsächlich durch den Punkt $(m_x, m_y)$, wie es die Theorie besagt.