Aufgabe 4.1Z: Momentenberechnung

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P ID2863 Inf Z 4 1.png

Die Grafik zeigt oben die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) der Exponentialverteilung: $$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} A_{ X} \cdot {\rm exp}(-\lambda \cdot x) \\ A_{ X}/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm}x>0, \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm}x=0, \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm}x<0. \\ \end{array}$$ Darunter gezeichnet ist die WDF der Laplaceverteilung, die für alle y–Werte wie folgt angegeben werden kann: $$f_Y(y) = A_{ Y} \cdot {\rm exp}(-\lambda \cdot |y|)\hspace{0.05cm}.$$ Die zwei wertkontinuierlichen Zufallsgrößen X und Y sollen hinsichtlich der folgenden Kenngrößen verglichen werden:

  • dem linearen Mittelwert m1 (Moment erster Ordnung),
  • dem Moment zweiter Ordnung  ⇒  m2,
  • der Varianz σ2 = m2m12 (Satz von Steiner), und
  • der Streuung σ.

Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel 4.1 des vorliegenden Buches. Sie fasst gleichzeitig die erforderlichen Vorkenntnisse von Kapitel 3 des Buches „Stochastische Signaltheorie” zusammen. Gegeben sind außerdem die beiden unbestimmten Integrale: $$\int \hspace{-0.01cm} x \cdot {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = \frac{{\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}}{(-\lambda)^2}\cdot(-\lambda \cdot x-1)\hspace{0.05cm}, $$ $$\int \hspace{-0.01cm} x^2 \cdot {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\cdot (\frac{x^2}{-\lambda} - \frac{2x}{\lambda^2} + \frac{2}{\lambda^3}) \hspace{0.05cm}. $$

Fragebogen

1

Wie groß ist der Maximalwert AX der WDF fX(x)?

AX = λ/2,
AX = λ,
AX = 1/λ.

2

Wie groß ist der Maximalwert AY der WDF fY(y)?

AY = λ/2,
AY = λ,
AY = 1/λ.

3

Gibt es ein Argument z, so dass fX(z) = fY(z) gilt?

Ja.
Nein.

4

Welche Aussagen gelten für die Kenngrößen der Exponentialverteilung?

Der lineare Mittelwert ist m1 = 1/λ.
Der quadratische Mittelwert ist m2 = 2/λ2.
Die Varianz ist σ2 = 1/λ2.

5

Welche Aussagen gelten für die Kenngrößen der Laplaceverteilung?

Der lineare Mittelwert ist m1 = 1/λ.
Der quadratische Mittelwert ist m2 = 2/λ2.
Die Varianz ist σ2 = 1/λ2.

6

Mit welcher Wahrscheinlichkeiten unterscheidet sich die Zufallsgröße <nobr>(X bzw. Y)</nobr> vom Mittelwert m betragsmäßig um mehr als die Streuung σ?

$Exponential: Pr(|X – mX| > σX)$ =

$Laplace: Pr(|Y – mY| > σY)$ =


Musterlösung

a)  Die Fläche unter der WDF muss immer 1 sein. Daraus folgt für die Exponentialverteilung: $$A_{X} \cdot\int_{0}^{\infty} \hspace{-0.01cm} {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = A_{X} \cdot (-1/\lambda)\cdot\left [{\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\right ]_{0}^{\infty} = A_{X} \cdot (1/\lambda) \stackrel{!}{=} 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} A_{X} = \lambda \hspace{0.05cm}. $$ Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 2.

b)  Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass die Höhe AY der Laplaceverteilung nur halb so groß ist wie das Maximum der Exponentialverteilung  ⇒AY = λ/2  ⇒ Lösungsvorschlag 1.

c)  Richtig ist JA, obwohl für z ≠ 0 stets fX(z) ≠ fY(z) gilt. Betrachten wir nun den Sonderfall z = 0:

  • Für die Laplaceverteilung gilt fY(0) = λ/2.
  • Bei der Exponentialverteilung unterscheiden sich der links- und der rechtsseitige Grenzwert für x → 0. Der WDF–Wert an der Stelle x = 0 ist der Mittelwert dieser beiden Grenzwerte:

$$f_X(0) = \frac{1}{2} \cdot [ 0 + \lambda] = \lambda/2 = f_Y(0)\hspace{0.05cm}.$$

d)  Bei der Exponentialverteilung erhält man entsprechend [BS01] für

  • den linearen Mittelwert (Moment erster Ordnung):

$$m_1 = \lambda \cdot\int_{0}^{\infty} \hspace{-0.01cm} x \cdot {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = \lambda \cdot \left [\frac{{\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}}{(-\lambda)^2}\cdot(-\lambda \cdot x-1)\right ]_{0}^{\infty}= {1}/{\lambda} \hspace{0.05cm},$$

  • den quadratischen Mittelwert (Moment zweiter Ordnung):

$$m_2 = \lambda \cdot\int_{0}^{\infty} \hspace{-0.01cm} x^2 \cdot {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = \lambda \cdot\left [ {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\cdot (\frac{x^2}{-\lambda} - \frac{2x}{\lambda^2} + \frac{2}{\lambda^3}) \right ]_{0}^{\infty} ={2}/{\lambda^2} \hspace{0.05cm}.$$ Daraus ergibt sich mit dem Satz von Steiner für die Varianz der Exponentialverteilung: $$\sigma^2 = m_2 - m_1^2 = {2}/{\lambda^2} -{1}/{\lambda^2} = {1}/{\lambda^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} \sigma = {1}/{\lambda}\hspace{0.05cm}.$$ Richtig sind also alle Lösungsvorschläge.  Hinweis: Bei der Exponentialverteilung berechnet sich das Moment k–ter Ordnung allgemein zu mk = k!/λk   ⇒   m1 = 1/λ,   m2 = 2/λ2,    m3 = 6/λ3, ...

e)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 2: Der quadratische Mittelwert der Laplaceverteilung ist aufgrund der symmetrischen WDF genau so groß wie bei der Exponentialverteilung: $$m_2 = \frac{\lambda}{2} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \hspace{-0.01cm} y^2 \cdot {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}|y|}\hspace{0.1cm}{\rm d}y = \lambda \cdot\int_{0}^{\infty} \hspace{-0.01cm} y^2 \cdot {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y}\hspace{0.1cm}{\rm d}y = {2}/{\lambda^2} \hspace{0.05cm}.$$ Der Mittelwert der Laplaceverteilung ist m1 = 0. Damit ist die Varianz der Laplaceverteilung doppelt so groß wie bei der Exponentialverteilung: $$\sigma^2 = m_2 - m_1^2 = {2}/{\lambda^2} - 0 ={2}/{\lambda^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} \sigma = {\sqrt{2}}/{\lambda}\hspace{0.05cm}.$$

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f)  Für die Exponentialverteilung ergibt sich entsprechend der oberen Grafik mit mX = σX = 1/λ: $${\rm Pr}( |X - m_X| > \sigma_X) = {\rm Pr}( X > 2/\lambda) $$ $$\ = \lambda \cdot\int_{2/\lambda}^{\infty} \hspace{-0.01cm} {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = -\left [ {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x} \right ]_{2/\lambda}^{\infty}$$ $$\ = {\rm e}^{-2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.135}\hspace{0.05cm}.$$ Für die Laplaceverteilung (untere Grafik) erhält man mit mY = 0 und σY = 20.5/λ: $${\rm Pr}( |Y - m_Y| > \sigma_Y) = 2 \cdot {\rm Pr}( Y > \sqrt{2}/\lambda) $$ $$\ = 2 \cdot \frac{\lambda}{2} \cdot\int_{\sqrt{2}/\lambda}^{\infty} \hspace{-0.01cm} {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = \left [ {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x} \right ]_{\sqrt{2}/\lambda}^{\infty}$$ $$\ = - {\rm e}^{-\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.243}\hspace{0.05cm}.$$

Ein Vergleich der schraffierten Flächen in nebenstehender Grafik bestätigt das Ergebnis qualitativ: Die blauen Flächen sind zusammen etwas größer als die rote Fläche.