Aufgabe 4.2: Dreieckförmige WDF
Betrachtet werden zwei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (kurz WDF) mit dreieckförmigem Verlauf:
- Die Zufallsgröße X ist auf den Wertebereich von 0 und 1 begrenzt, und es gilt für die WDF (obere Skizze)
$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} 2x \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} 0 \le x \le 1 \\ {\rm sonst} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$
- Die Zufallsgröße Y besitzt gemäß der unteren Skizze die folgende WDF:
$$f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - |y| \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} |y| \le 1 \\ {\rm sonst} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$
- Der Zusammenhang zwischen den zwei Zufallsgrößen ist durch die Gleichung X = |Y| gegeben.
Für beide Zufallsgrößen soll jeweils die differentielle Entropie ermittelt werden. Beispielsweise lautet die entsprechende Gleichung für die Zufallsgröße X: $$h(X) = \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_X)} \hspace{-0.35cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} [ f_X(x) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.6cm}{\rm mit}\hspace{0.6cm} {\rm supp}(f_X) = \{ x: f_X(x) > 0 \} \hspace{0.05cm}.$$ Verwendet man den natürlichen Logarithmus, so ist die Pseudo–Einheit „nat” anzufügen. Ist das Ergebnis dagegen in „bit” gefragt, so ist der Logarithmus dualis ⇒ „log2” zu verwenden.
In der Teilaufgabe (d) wird die neue Zufallsgröße Z = A · Y betrachtet. Der WDF–Parameter A ist so zu bestimmen, dass die differentielle Entropie der neuen Zufallsgröße Z genau 1 bit ergibt:
$$h(Z) = h (A \cdot Y) = h (Y) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) = 1\,{\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 4.1 Vorgegeben ist das folgende unbestimmte Integral:
$$\int \xi \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)\hspace{0.1cm}{\rm d}\xi =
\xi^2 \cdot \left [ \frac{{\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)}{2} -
\frac{1}{4}\right ] \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
