Aufgabe 5.2: Bestimmung des Frequenzgangs

Anordnung zur Bestimmung des Frequenzgangs

Wir betrachten die abgebildete Messanordnung zur Bestimmung des blau hervorgehobenen Frequenzgangs $H(f)$.

Das Eingangssignal $x(t)$ ist weißes Gaußsches Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0 = 10^{-10} \hspace{0.05cm} \rm W/Hz$.

Somit gilt für die AKF:

$$\varphi _x ( \tau ) = {N_0 }/{2} \cdot \delta ( \tau ).$$

Die gemessene Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) zwischen den Signalen $x(t)$ und $y(t)$ kann mit $K = 0.628 \cdot 10^{-12} \hspace{0.05cm} \rm W$ und $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ wie folgt angenähert werden (nur gültig für positive Zeiten $t$):

$$\varphi _{xy} \left( \tau \right) = K \cdot {\rm{e}}^{ - \tau /T_0 } .$$

Gemessen wird außerdem die AKF $\varphi_y(\tau)$ des Ausgangssignals $y(t)$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Stochastische Systemtheorie.
Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Leistungsdichtespektrum.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Beachten Sie bitte auch die folgende Fouriertransformation (in $\omega$):

$$H( \omega ) = \frac{1}{{1 + {\rm{j}}\cdot \omega /\omega _0 }}\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\hspace{0.15cm}h(t) = \omega _0 \cdot {\rm{e}}^{ - \omega _0 t} \hspace{0.3cm}(t \ge 0).$$

Für negative t-Werte ist dagegen stets $h(t) =0$.

Fragebogen

	die Funktionen $\varphi_x(\tau)$ und $\varphi_y(\tau)$ bekannt sind,
	die Funktionen $\varphi_x(\tau)$ und $\varphi_{xy}(\tau)$ bekannt sind,
	die Funktionen $\varphi_{xy}(\tau)$ und $\varphi_y(\tau)$ bekannt sind.

$h(t = T_0) \ = $

$\ \cdot 10^{-3} \ \rm 1/s$

$H(f = 0) \ = $

${\it \Phi}_y(f = 1/(2\pi T_0)) \ = $

$\ \cdot 10^{-12}\ \rm W/Hz$

Musterlösung

(1) Die Aussagen 2 und 3 sind zutreffend, da folgende Gleichungen gelten:

$$\varphi _{xy} ( \tau ) = h( \tau ) * \varphi _x ( \tau )\quad \Rightarrow \quad H( f ) = \frac{{{\it \Phi} _{xy} ( f )}}{{{\it \Phi} _x ( f )}},$$

$$\varphi _y ( \tau) = \varphi _{xy} ( \tau) * h(- \tau)\quad \Rightarrow \quad H^{\star}( f ) = \frac{{{\it \Phi} _y ( f )}}{{{\it \Phi} _{xy} ( f )}}.$$

Dagegen ist die erste Aussage falsch: Bei der AKF-Berechnung gehen die Phasenbeziehungen verloren. Die zugehörigen Funktionen zu $\varphi_x(\tau)$ und $\varphi_x(\tau)$ im Spektralbereich – nämlich ${\it \Phi}_x$ und ${\it \Phi}_y$ – sind rein reell, so dass nur der Betrag $|H(f)|$ angegeben werden kann.

(2) Bei diracförmiger Eingangs-AKF $\varphi_x(\tau)$ ist die Impulsantwort $h(t)$ formgleich mit der KKF:

$$h(t) = \frac{{K \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 } }}{N_0 /2} = 1.256 \cdot 10^{ - 2} \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 } $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t = T_0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 4.62 \cdot 10^{-3}\ \rm 1/s}.$$

(3) Die angegebene Fourierkorrespondenz lautet mit $T_0 = 1/\omega_0$ und der Konstanten $C= N_0/2 \cdot T_0/K$:

$$h(t) = \frac{C}{T_0 } \cdot {\rm{e}}^{ - t/T_0 }\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\hspace{0.15cm} H( \omega ) = \frac{C}{{1 + {\rm{j}}\omega T_0 }}.$$

Die Konstante ergibt sich zu $C = 0.08$. Mit $H(f) = 2 \pi \cdot H(\omega)$ folgt daraus:

$$H(f) = \frac{0.5}{1 + {\rm{j2\pi }}fT_0 } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f= 0) \hspace{0.15cm}\underline{=2}.$$

(4) Für das Ausgangs-LDS gilt im Allgemeinen bzw. speziell hier:

$${\it \Phi}_y (f) = {\it \Phi} _x (f) \cdot \left| {H(f)} \right|^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \frac{0.5^2 }{{\left( {1 + {\rm{j2\pi }}fT_0 } \right)\left( {1 - {\rm{j2\pi }}fT_0 } \right)}} = {N_0 }/{8} \cdot \frac{1}{1 + \left( {{\rm{2\pi }}fT_0 } \right)^2 }.$$

Bei der angegebenen Frequenz $f = 1/(2\pi T_0)$ ist ${\it \Phi}_y (f)$ gegenüber seinem Maximum bei $f=0$ um die Hälfte abgefallen:

$${\it \Phi}_y (f = 1/(2 \pi T_0)) ={N_0 }/{16}\hspace{0.15cm} \underline{ = 6.25 \cdot 10^{ - 12} \;{\rm{W/Hz}}}.$$