Optimale Empfängerstrategien

1. Digitalsignalübertragung
2. Impulsinterferenzen und Entzerrungsverfahren
3. Optimale Empfängerstrategien

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Betrachtetes Szenario und Voraussetzungen

Alle bisher beschriebenen Digitalempfänger treffen stets symbolweise Entscheidungen. Werden dagegen mehrere Symbole gleichzeitig entschieden, so können bei der Detektion statistische Bindungen zwischen den Empfangssignalabtastwerten berücksichtigt werden, was eine geringere Fehlerwahrscheinlichkeit zur Folge hat – allerdings auf Kosten einer zusätzlichen Laufzeit.

In diesem – teilweise auch im nächsten Kapitel – wird von folgendem Übertragungsmodell ausgegangen:

Übertragungssystem mit optimalem Empfänger

Gegenüber den letzten beiden Kapiteln ergeben sich folgende Unterschiede:

• $Q \in \{Q_i\}$ mit $i = 0$, ... , $M-1$ bezeichnet eine zeitlich begrenzte Quellensymbolfolge $\langle q_\nu \rangle$, deren Symbole vom optimalen Empfänger gemeinsam entschieden werden sollen.
  

• Beschreibt $Q$ eine Folge von $N$ redundanzfreien Binärsymbolen, so ist $M = 2^N$ zu setzen. Dagegen gibt $M$ bei symbolweiser Entscheidung die Stufenzahl der digitalen Quelle an.
  

• Im obigen Modell werden eventuelle Kanalverzerrungen dem Sender hinzugefügt und sind somit bereits im Grundimpuls $g_s(t)$ und im Signal $s(t)$ enthalten. Diese Maßnahme dient lediglich einer einfacheren Darstellung und stellt keine Einschränkung dar.
  

• Der optimale Empfänger sucht unter Kenntnis des aktuell anliegenden Empfangssignals $s(t)$ aus der Menge $\{Q_0$, ... , $Q_{M-1}\}$ der möglichen Quellensymbolfolgen die am wahrscheinlichsten gesendete Folge $Q_j$ und gibt diese als Sinkensymbolfolge $V$ aus.
  

• Vor dem eigentlichen Entscheidungsalgorithmus muss durch eine geeignete Signalvorverarbeitung aus dem Empfangssignal $r(t)$ für jede mögliche Folge $Q_i$ ein Zahlenwert $W_i$ abgeleitet werden. Je größer $W_i$ ist, desto größer ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit, dass $Q_i$ gesendet wurde.
  

• Die Signalvorverarbeitung muss für die erforderliche Rauschleistungsbegrenzung und – bei starken Kanalverzerrungen – für eine ausreichende Vorentzerrung der entstandenen Impulsinterferenzen sorgen. Außerdem beinhaltet die Vorverarbeitung auch die Abtastung zur Zeitdiskretisierung.
  

MAP– und Maximum–Likelihood–Entscheidungsregel

Man bezeichnet den (uneingeschränkt) optimalen Empfänger als MAP–Empfänger, wobei „MAP” für „Maximum–a–posteriori” steht.

$\text{Definition:}$  Der MAP–Empfänger ermittelt die $M$ Rückschlusswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}[Q_i \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}r(t)]$ und setzt seine Ausgangsfolge $V$ gemäß der Entscheidungsregel, wobei für den Index gilt:   $i = 0$, ..., $M-1$ sowie $i \ne j$:

$${\rm Pr}[Q_j \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} r(t)] > {\rm Pr}[Q_i \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} r(t)] \hspace{0.05cm}.$$

Die Rückschlusswahrscheinlichkeit ${\rm Pr}[Q_i \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} r(t)]$ gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Folge $Q_i$ gesendet wurde, wenn das Empfangssignal $r(t)$ am Entscheider anliegt. Mit dem Satz von Bayes kann diese Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnet werden:

$${\rm Pr}[Q_i \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} r(t)] = \frac{ {\rm Pr}[ r(t)\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} Q_i] \cdot {\rm Pr}[Q_i]}{{\rm Pr}[r(t)]} \hspace{0.05cm}.$$

Die MAP–Entscheidungsregel lässt sich somit wie folgt umformulieren bzw. vereinfachen:

Man setze die Sinkensymbolfolge $V = Q_j$, falls für alle $i \ne j$ gilt:

$$\frac{ {\rm Pr}[ r(t)\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} Q_j] \cdot {\rm Pr}[Q_j)}{{\rm Pr}(r(t)]} > \frac{ {\rm Pr}[ r(t)\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} Q_i] \cdot {\rm Pr}[Q_i]}{{\rm Pr}[r(t)]}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}[ r(t)\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} Q_j] \cdot {\rm Pr}[Q_j]> {\rm Pr}[ r(t)\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} Q_i] \cdot {\rm Pr}[Q_i] \hspace{0.05cm}.$$

Eine weitere Vereinfachung dieser MAP–Entscheidungsregel führt zum ML–Empfänger, wobei „ML” für „Maximum–Likelihood” steht.

$\text{Definition:}$  Der Maximum–Likelihood–Empfänger – abgekürzt ML – entscheidet nach den bedingten Vorwärtswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}[r(t)\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}Q_i]$ und setzt die Folge $V = Q_j$, falls für alle $i \ne j$ gilt:

$${\rm Pr}[ r(t)\hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} Q_j] > {\rm Pr}[ r(t)\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} Q_i] \hspace{0.05cm}.$$

Ein Vergleich dieser beiden Definitionen zeigt:

• Bei gleichwahrscheinlichen Quellensymbolen verwenden der ML–Empfänger und der MAP–Empfänger gleiche Entscheidungsregeln und sind somit äquivalent.
• Bei nicht gleichwahrscheinlichen Symbolen ist der ML–Empfänger dem MAP–Empfänger unterlegen, da er für die Detektion nicht alle zur Verfügung stehenden Informationen nutzt.
  

$\text{Beispiel 1:}$  Zur Verdeutlichung von ML– und MAP–Entscheidungsregel konstruieren wir nun ein sehr einfaches Beispiel mit nur zwei Quellensymbolen $(M = 2)$.

• Die beiden möglichen Symbole $Q_0$ und $Q_1$ werden durch die Sendesignale $s = 0$ bzw. $s = 1$ dargestellt.
• Das Empfangssignal kann – warum auch immer – drei verschiedene Werte annehmen, nämlich $r = 0$, $r = 1$ und zusätzlich $r = 0.5$.

Zur Verdeutlichung von MAP- und ML-Empfänger

Die Empfangswerte $r = 0$ und $r = 1$ werden sowohl vom ML– als auch vom MAP–Entscheider den Senderwerten $s = 0 \ (Q_0)$ bzw. $s = 1 \ (Q_1)$ zugeordnet. Dagegen werden die Entscheider bezüglich des Empfangswertes $r = 0.5$ ein anderes Ergebnis liefern:

• Die Maximum–Likelihood–Entscheidungsregel führt zum Quellensymbol $Q_0$, wegen

$${\rm Pr}( r= 0.5\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} Q_0) = 0.4 > {\rm Pr}( r= 0.5\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} Q_1) = 0.2 \hspace{0.05cm}.$$

• Die MAP–Entscheidung führt dagegen zum Quellensymbol $Q_1$, da entsprechend der Grafik gilt:

$${\rm Pr}(Q_1 \hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} r= 0.5) = 0.6 > {\rm Pr}(Q_0 \hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} r= 0.5) = 0.4 \hspace{0.05cm}.$$

Maximum–Likelihood––Entscheidung bei Gaußscher Störung

Wir setzen nun voraus, dass sich das Empfangssignal $r(t)$ additiv aus einem Nutzsignal $s(t)$ und einem Störanteil $n(t)$ zusammensetzt, wobei die Störung als gaußverteilt und weiß angenommen wird   ⇒   AWGN–Rauschen:

$$r(t) = s(t) + n(t) \hspace{0.05cm}.$$

Eventuelle Kanalverzerrungen werden zur Vereinfachung bereits dem Signal $s(t)$ beaufschlagt.

Die notwendige Rauschleistungsbegrenzung wird durch einen Integrator realisiert; dies entspricht einer Mittelung der Rauschwerte im Zeitbereich. Begrenzt man das Integrationsintervall auf den Bereich $t_1$ bis $t_2$, so kann man für jede Quellensymbolfolge $Q_i$ eine Größe $W_i$ ableiten, die ein Maß für die bedingte Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}[ r(t)\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} Q_i] $ darstellt:

$$W_i = \int_{t_1}^{t_2} r(t) \cdot s_i(t) \,{\rm d} t - {1}/{2} \cdot \int_{t_1}^{t_2} s_i^2(t) \,{\rm d} t= I_i - {E_i}/{2} \hspace{0.05cm}.$$

Diese Entscheidungsgröße $W_i$ kann über die $k$–dimensioniale Verbundwahrscheinlichkeitsdichte der Störungen (mit $k \to \infty$) und einigen Grenzübergängen hergeleitet werden.

Das Ergebnis lässt sich wie folgt interpretieren:

• Die Integration dient der Rauschleistungsbegrenzung. Werden vom ML–Detektor $N$ Binärsymbole gleichzeitig entschieden, so ist bei verzerrungsfreiem Kanal $t_1 = 0 $ und $t_2 = N \cdot T$ zu setzen.
• Der erste Term der obigen Entscheidungsgröße $W_i$ ist gleich der über das endliche Zeitintervall $NT$ gebildeten Energie–Kreuzkorrelationsfunktion zwischen $r(t)$ und $s_i(t)$ an der Stelle $\tau = 0$:

$$I_i = \varphi_{r, \hspace{0.05cm}s_i} (\tau = 0) = \int_{0}^{N \cdot T}r(t) \cdot s_i(t) \,{\rm d} t \hspace{0.05cm}.$$

• Der zweite Term gibt die halbe Energie des betrachteten Nutzsignals $s_i(t)$ an, die zu subtrahieren ist. Die Energie ist gleich der AKF des Nutzsignals an der Stelle $\tau = 0$:

\[E_i = \varphi_{s_i} (\tau = 0) = \int_{0}^{N \cdot T} s_i^2(t) \,{\rm d} t \hspace{0.05cm}.\]

• Bei verzerrendem Kanal ist die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ nicht diracförmig, sondern beispielsweise auf den Bereich $-T_{\rm K} \le t \le +T_{\rm K}$ ausgedehnt. In diesem Fall muss für die beiden Integrationsgrenzen $t_1 = -T_{\rm K}$ und $t_2 = N \cdot T +T_{\rm K}$ eingesetzt werden.
  

Matched–Filter–Empfänger vs. Korrelationsempfänger

Es gibt verschiedene schaltungstechnische Implementierungen des Maximum–Likelihood–Empfängers.

Beispielsweise können die erforderlichen Integrale durch lineare Filterung und anschließender Abtastung gewonnen werden. Man bezeichnet diese Realisierungsform als Matched–Filter–Empfänger, da hier die Impulsantworten der $M$ parallelen Filter formgleich mit den Nutzsignalen $s_0(t)$, ... , $s_{M-1}(t)$ sind.

• Die $M$ Entscheidungsgrößen $I_i$ sind dann gleich den Faltungsprodukten $r(t) \star s_i(t)$ zum Zeitpunkt $t= 0$.
• Beispielsweise erlaubt der im Kapitel Optimierung der Basisband–Üertragungssysteme ausführlich beschriebene „optimale Binärempfänger” eine Maximum–Likelihood–Entscheidung mit den ML–Parametern $M = 2$ und $N = 1$.
  

Eine zweite Realisierungsform bietet der Korrelationsempfänger entsprechend der folgenden Grafik.

Korrelationsempfänger für N = 3, t₁ = 0, t₂ = 3T sowie M = 2³ = 8

Man erkennt aus diesem Blockschaltbild für die angegebenen Parameter:

• Dieser Korrelationsempfänger bildet insgesamt $M = 8$ Kreuzkorrelationsfunktionen zwischen dem Empfangssignal $r(t) = s_k(t) + n(t)$ und den möglichen Sendesignalen $s_i(t), \ i = 0$, ... , $M-1$. Vorausgesetzt ist für diese Beschreibung, dass das Nutzsignal $s_k(t)$ gesendet wurde.
  

• Der Korrelationsempfänger sucht nun den maximalen Wert $W_j$ aller Korrelationswerte und gibt die dazugehörige Folge $Q_j$ als Sinkensymbolfolge $V$ aus. Formal lässt sich die ML–Entscheidungsregel wie folgt ausdrücken:

$$V = Q_j, \hspace{0.2cm}{\rm falls}\hspace{0.2cm} W_j > W_i \hspace{0.2cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.2cm} {\rm alle}\hspace{0.2cm} i \ne j \hspace{0.05cm}.$$

• Setzt man weiter voraus, dass alle Sendesignale $s_i(t)$ die genau gleiche Energie besitzen, so kann man auf die Subtraktion von $E_i/2$ in allen Zweigen verzichten. In diesem Fall werden folgende Korrelationswerte miteinander verglichen $(i = 0$, ... , $M-1)$:

\[I_i = \int_{0}^{NT} s_j(t) \cdot s_i(t) \,{\rm d} t + \int_{0}^{NT} n(t) \cdot s_i(t) \,{\rm d} t \hspace{0.05cm}.\]

• Mit großer Wahrscheinlichkeit ist $I_j = I_k$ größer als alle anderen Vergleichswerte $i_{j \ne k}$. Ist das Rauschen $nt)$ allerdings zu groß, so kann auch der Korrelationsempfänger eine Fehlentscheidung treffen.
  

Darstellung des Korrelationsempfängers im Baumdiagramm

Verdeutlichen wir uns die Funktionsweise des Korrelationsempfängers im Baumdiagramm, wobei die 2³ = 8 möglichen Quellensymbolfolgen Q_i der Länge N = 3 durch bipolare rechteckförmige Sendesignale s_i(t) repräsentiert werden. Die möglichen Quellensymbolfolgen Q₀ = „LLL”, ... , Q₇ = „HHH” und die dazugehörigen Sendesignale s₀(t), ... , s₇(t) sind nachfolgend aufgeführt.

Mögliche bipolare Sendesignale für N = 3

Wegen den bipolaren Amplitudenkoeffizienten und der Rechteckform sind alle Signalenergien E₀, ... , E₇ gleich N · E_B, wobei E_B die Energie eines Einzelimpulses der Dauer T angibt. Deshalb kann auf die Subtraktion des Terms E_i/2 in allen Zweigen verzichtet werden. Eine auf den Korrelationswerten I_i basierende Entscheidung liefert ebenso zuverlässige Ergebnisse wie die Maximierung der korrigierten Werte W_i.

Baumdiagramm des Korrelationsempfängers (bipolar)

In der linken Grafik sind die fortlaufenden Integralwerte dargestellt, wobei vom tatsächlich gesendeten Signal s₅(t) und dem rauschfreien Fall ausgegangen wird:

\[i_i(t) = \int_{0}^{t} r(\tau) \cdot s_i(\tau) \,{\rm d} \tau = \int_{0}^{t} s_5(\tau) \cdot s_i(\tau) \,{\rm d} \tau \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}I_i = i_i(3T). \]

Das rechte Baumdiagramm berücksichtigt AWGN–Rauschen n(t) mit der Varianz σ_n² = 4 · E_B/T.

Die Interpretation dieser Grafik folgt auf der nächsten Seite.

Darstellung des Korrelationsempfängers im Baumdiagramm (2)

Baumdiagramm des Korrelationsempfängers

Es folgt zunächst die Beschreibung des rauschfreien Baumdiagramms (linke Grafik):

• Wegen der Rechteckform der Signale s_i(t) sind alle Funktionsverläufe i_i(t) geradlinig. Die auf 3T normierten Endwerte sind +3, +1, –1 und –3.
  

• Der maximale Endwert ist I₅ = 3E_B (roter Kurvenverlauf), da tatsächlich das Signal s₅(t) gesendet wurde. Ohne Rauschen trifft der Korrelationsempfänger somit natürlich die richtige Entscheidung.
  

• Der blaue Kurvenzug i₁(t) führt zum Endwert I₁ = –E_B + E_B +E_B = E_B, da sich s₁(t) von s₅(t) nur im ersten Bit unterscheidet. Die Vergleichswerte I₄ und I₇ sind ebenfalls gleich E_B.
  

• Da sich s₀(t), s₃(t), und s₆(t) von s₅(t) in zwei Bit unterscheiden, gilt I₀ = I₃ = I₆ = –E_B. Die grüne Kurve zeigt i₆(t), das zunächst ansteigt (erstes Bit stimmt überein) und dann über zwei Bit abfällt.
  

• Die violette Kurve führt zum Endwert I₂ = –3E_B. Das zugehörige Signal s₂(t) unterscheidet sich von s₅(t) in allen drei Symbolen und es gilt s₂(t) = –s₅(t).
  
  

Im rechten Baumdiagramm sind die Funktionsverläufe aufgrund des Rauschanteils n(t) nicht mehr gerade und es ergeben sich auch etwas andere Endwerte als ohne Rauschen. Im betrachteten Beispiel entscheidet der Korrelationsempfänger mit großer Wahrscheinlichkeit richtig, da die Differenz zwischen I₅ und dem nächstgrößeren Wert I₇ mit 1.65E_B verhältnismäßig groß ist.

Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist in dem hier betrachteten Beispiel allerdings nicht besser als die des Matched–Filter–Empfängers mit symbolweiser Entscheidung. Entsprechend Kapitel 1.4 gilt auch hier:

\[p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right) = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \sqrt{{ E_{\rm B}}/{N_0}}\right) \hspace{0.05cm}.\]

Weist das Eingangssignal aber statistische Bindungen auf, so führt die gemeinsame Entscheidung von N Bit zu einer spürbaren Verbesserung, da der ML–Empfänger dies berücksichtigt. Solche Bindungen können entweder durch sendeseitige Codierung bewusst erzeugt werden (siehe Buch „Kanalcodierung”) oder durch (lineare) Kanalverzerrungen ungewollt entstehen.

Bei Vorhandensein solcher Impulsinterferenzen ist die Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit deutlich schwieriger. Es können jedoch vergleichbare Näherungen wie beim Viterbi–Empfänger angegeben werden, die am Ende von Kapitel 3.8 zu finden sind.

Darstellung des Korrelationsempfängers im Baumdiagramm (3)

Bei unipolarer Signalisierung führt eine auf I_i basierende Entscheidung nicht zum richtigen Ergebnis. Hier muss vielmehr auf die korrigierten Vergleichswerte W_i = I_i – E_i/2 zurückgegriffen werden.

Nachfolgend sehen Sie das Baumdiagramm für den rauschfreien Fall, wobei wie auf der letzten Seite vorausgesetzt ist, dass s₅(t) gesendet wurde. Auch die Farben korrespondieren mit der Grafik auf der letzten Seite.

Baumdiagramm des Korrelationsempfängers (unipolar)

Für dieses Beispiel ergeben sich folgende Vergleichswerte, jeweils normiert auf E_B:

\[I_5 = I_7 = 2, \hspace{0.2cm}I_1 = I_3 = I_4= I_6 = 1 \hspace{0.2cm}, \hspace{0.2cm}I_0 = I_2 = 0 \hspace{0.05cm},\]

\[W_5 = 1, \hspace{0.2cm}W_1 = W_4 = W_7 = 0.5, \hspace{0.2cm} W_0 = W_3 =W_6 =0, \hspace{0.2cm}W_2 = -0.5 \hspace{0.05cm}.\]

Bei einem Vergleich hinsichtlich der maximalen I_i–Werte wären die Quellensymbolfolgen Q₅ und Q₇ gleichwertig. Bei Berücksichtigung der unterschiedlichen Energien (E₅ = 2, E₇ = 3) ist dagegen W₅ > W₇.

Aufgaben zum Kapitel

A3.9 Korrelationsempfänger - unipolar

A3.10 ML-Baumdiagramm