Aufgabe 1.4: Rayleigh–WDF und Jakes–LDS

Wir betrachten zwei verschiedene Mobilfunkkanäle mit Rayleigh–Fading. In beiden Fällen lässt sich die WDF des Betrags $a(t) = |z(t)| ≥ 0$ in folgender Weise darstellen:

$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2}{2\sigma^2}] \hspace{0.05cm}.$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Betrag kleiner oder gleich einem vorgegebenen Wert A ist, kann wie folgt berechnet werden:

$${\rm Pr}(|z(t)| \le A) = 1 - {\rm exp} [ -\frac{A^2}{2\sigma^2}] \hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Kanäle, die entsprechend den Farben „Rot” und „Blau” in den Grafiken mit (R) bzw. (B) bezeichnet werden, unterscheiden sich durch die Geschwindigkeit $\upsilon$ und damit in der Form des Leistungsdichtespektrums $\Phi_z(f_D)$. In beiden Fällen ergibt sich aber ein Jakes–Spektrum. Für eine Dopplerfrequenz $f_D$, deren Betrag kleiner als ein Grenzwert $f_{\rm D, max} ist, lautet die Gleichung: :'"`UNIQ-MathJax28-QINU`"' Dopplerfrequenzen außerhalb dieses Intervalls von $–f_{\rm D, max}$ bis $+f_{\rm D, max}$ sind ausgeschlossen. Die entsprechende Beschreibungsgröße im Zeitbereich ist die Autokorrelationsfunktion (AKF): :'"`UNIQ-MathJax29-QINU`"' Hierbei bezeichnet $J_0(.)$ die Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung. Es gilt $J_0(0) = 1$. Vom Kanalmodell (R) ist die maximale Dopplerfrequenz bekannt: $f_{\rm D, max} = 200 Hz$. Außerdem ist bekannt, dass sich die Geschwindigkeiten $\upsilon_R$ und $\upsilon_B$ um den Faktor 2 unterscheiden. Ob $\upsilon_R$ doppelt so groß ist als $\upsilon_B$ oder umgekehrt, sollen Sie anhand der obigen Grafiken entscheiden. '''Hinweis:''' Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses|'''Kapitel 1.3''']]. Zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse können Sie folgendes Interaktionsmodul benutzen: # [http://www.lntwww.de/cgi-bin/extern/swf-sitemap.pl?swf_id=281&swf=wdf_vtf.swf&swf_hoehe=500&swf_breite=620| '''WDF, VTF und Momente'''] ==='"`UNIQ--h-0--QINU`"'Fragebogen=== '"`UNIQ--quiz-00000002-QINU`"' ==='"`UNIQ--h-1--QINU`"'Musterlösung=== '"`UNIQ--html-00000003-QINU`"' '''1.''' Aus der WDF erkennt man, dass das WDF–Maximum für beide Kanäle gleich 0.6 ist und für a = 1 auftritt. Die Rayleigh–WDF und ihre Ableitung lauten allgemein: :'"`UNIQ-MathJax30-QINU`"' Durch Nullsetzen der Ableitung lässt sich zeigen, dass das WDF–Maximum bei a = σ auftritt. Da die Rayleigh–WDF für beide Kanäle gilt, folgt daraus: :'"`UNIQ-MathJax31-QINU`"' '''2.''' Wegen der gleichen WDF ist auch die gesuchte Wahrscheinlichkeit für beide Kanäle gleich. Mit der angegebenen Gleichung erhält man hierfür: :'"`UNIQ-MathJax32-QINU`"' '''3.''' Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 6: * Die kleinere Geschwindigkeit $\upsilon_B$ erkennt man daran, dass sich der Betrag $|z(t)|$ bei der blauen Kurve langsamer ändert. * Bei stehendem Fahrzeug entartet das LDS zu $\Phi_z(f_D) = 2\sigma^2\cdot \delta(f_D)$, und es ist $|z(t)| = A = const.$, wobei die Konstante $A$ entsprechend der Rayleighverteilung ausgewürfelt wird. * Bei extrem hoher Geschwindigkeit wird das Jakes–Spektrum über einen immer größeren Bereich flach und immer kleiner; es nähert sich dann dem LDS von weißem Rauschen an. Allerdings müsste dazu $\upsilon$ schon in der Größenordnung der Lichtgeschwindigkeit sein. '''4.''' Richtig sind hier die beiden Aussagen 2 und 3. Durch den Rayleigh–Parameter $\sigma = 1$ liegt auch die „Leistung” $E[|z(t)|^2] = 2\sigma^2 = 2$ des Zufallsprozesses fest. Somit gilt sowohl für (R) als auch für (B):

$$\varphi_z ({\rm \Delta}t = 0) = 2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \int_{-\infty}^{+\infty}{\it \Phi}_z(f_{\rm D}) \hspace{0.15cm}{\rm d}f_{\rm D} = 2 \hspace{0.05cm}.$$