Aufgabe 1.2: Lognormal – Kanalmodell

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Lognormal–WDF

Wir betrachten eine Mobilfunkzelle im städtischen Bereich und ein Fahrzeug, das sich näherungsweise in einem festen Abstand $d_0$ von der Basisstation aufhält. Beispielsweise bewegt es sich auf einem Kreisbogen um die Basisstation. Somit ist der gesamte Pfadverlust durch folgende Gleichung beschreibbar:

$$V_{\rm P} = V_{\rm 0} + V_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$

$V_0$ berücksichtigt den entfernungsabhängigen Pfadverlust, der mit $V_0 = 80 \ \rm dB$ als konstant angenommen wird. Der Verlust $V_{\rm S}$ ist auf Abschattungen (Shadowing) zurückzuführen, der durch die Lognormal–Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

$$f_{V{\rm S}}(V_{\rm S}) = \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ (V_{\rm S}- m_{\rm S})^2}{2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ] \hspace{0.05cm}$$

ausreichend genau beschrieben wird (siehe Grafik). Es gelten folgende Zahlenwerte:

$$m_{\rm S} = 20\,\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \sigma_{\rm S} = 10\,\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}{\rm bzw.}\hspace{0.15cm}\sigma_{\rm S} = 0\,\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}{\rm (Teilaufgabe\hspace{0.15cm} b)}\hspace{0.05cm}.$$

Gehen Sie außerdem von folgenden einfachen Annahmen aus:

• Die Sendeleistung beträgt $P_{\rm S} = 10 \ \rm W$ (oder $40 \ \rm dBm$).
• Die Empfangsleistung soll mindestens $P_{\rm E} = 10 \ \rm pW$ (umgerechnet: $–80 \ \rm dBm$) betragen.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung dieses Buches.
• Für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral können Sie folgende (grobe) Näherungen verwenden:

$${\rm Q}(1) \approx 0.16\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Q}(2) \approx 0.02\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Q}(3) \approx 10^{-3}\hspace{0.05cm}.$$

• Oder Sie benutzen das von LNTwww bereitgestellte Flash–Modul.

Fragebogen

1

Wäre $P_{\rm E}$ ohne Berücksichtigung des Lognormal–Fadings ausreichend?

	Ja,
	Nein.

2

Die Lognormal–Parameter seien $m_{\rm S} = 20 \ \rm dB$ und $\sigma_{\rm S} = 0 \ \rm dB$. In wieviel Prozent der Zeit funktioniert das System?

${\rm Pr(„System \ funktioniert”)}$ = $\ \%$

3

Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich mit $m_{\rm S} = 20 \ \rm dB$ und $\sigma_{\rm S} = 10 \ \rm dB$?

${\rm Pr(„System \ funktioniert”)}$ = $\ \%$

4

Wie groß darf $V_0$ maximal sein, damit die Zuverlässigkeit $99.9\%$ ist?

${\rm Zuverlässigkeit} \ 99.9\%: V_0$ = $\ \rm dB$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Aus dem $\rm dB$–Wert $V_0 = 80 \ \rm dB$ folgt der absolute (lineare) Wert $K_0 = 10^8$. Damit beträgt die Empfangsleistung $P_{\rm E} = P_{\rm S}/K_0 = 10 \ {\rm W}/10^8 = 100 \ {\rm nW} > 10 \ \rm pW$. Richtig ist demnach JA. Man kann dieses Problem auch direkt mit den logarithmischen Größen lösen:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{P_{\rm E}}{1\,\,{\rm mW}} = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{P_{\rm S}}{1\,\,{\rm mW}} - V_0 = 40\,{\rm dBm} -80\,\,{\rm dB} = -40\,\,{\rm dBm} \hspace{0.05cm}.$$

Gefordert ist aber lediglich der Grenzwert $–80 \ \rm dBm$.

(2)  Lognormal–Fading mit $\sigma_{\rm S} = 0 \ \rm dB$ ist gleichbedeutend mit einer konstanten Empfangslestung $P_{\rm E}$. Gegenüber Teilaufgabe 1) ist diese um $m_{\rm S} = 20 \ \rm dB$ kleiner ⇒ $P_{\rm E} = \ –60 \ \rm dBm$. Sie ist aber immer noch größer als der vorgegebene Grenzwert ($–80 \ \rm dBm$). Daraus folgt: Das System ist zu 100% funktionsfähig.

(3)  Die Empfangsleistung ist dann zu gering (kleiner als $–80 \ \rm dBm$), wenn der Leistungsverlust durch den Lognormal–Term $40 \ \rm dB$ oder mehr beträgt. Der veränderliche Anteil $V_{\rm S}$ darf also nicht größer sein als $20 \ \rm dB$. Daraus folgt:

$${\rm Pr}({\rm "System\hspace{0.15cm}funktioniert\hspace{0.15cm}nicht"})= {\rm Q}\left ( \frac{20\,\,{\rm dB}}{\sigma_{\rm S} = 10\,{\rm dB}}\right ) = {\rm Q}(2) \approx 0.02$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}({\rm "System\hspace{0.15cm}funktioniert"})= 1- 0.02 \hspace{0.15cm} \underline{\approx 98\,\%}\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik verdeutlicht das Ergebnis. Dargestellt ist hier die Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{\rm VS}(V_{\rm S})$ des Pfadverlustes durch Shadowing (Longnormal–Fading). Die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt, ist rot markiert:

Verlust durch Lognormal–Fading

(4)  Aus der Verfügbarkeitswahrscheinlichkeit $99.9 \%$ folgt die Ausfallwahrscheinlichkeit $10^{\rm –3} \approx \ Q(3)$. Verringert man den entfernungsabhängigen Pfadverlust $V_0$ um $10 \ \rm dB$ auf $\underline {70 \ \rm dB}$, so kommt es erst dann zu einem Ausfall, wenn $V_{\rm S} ≥ 50 \ \rm dB$ ist. Damit wäre genau die geforderte Zuverlässigkeit erreicht, wie die folgende Rechnung zeigt:

$${\rm Pr}({\rm "System\hspace{0.15cm}funktioniert\hspace{0.15cm}nicht"})= {\rm Q}\left ( \frac{120-70-20}{10}\right ) = {\rm Q}(3) \approx 0.001 \hspace{0.05cm}.$$