Aufgabe 1.08Z: BPSK-Fehlerwahrscheinlichkeit
Wir gehen von dem optimalen Basisbandübertragungssystem für Binärsignale aus mit
- bipolaren Amplitudenkoeffizienten $a_{\nu} \in \{–1, +1\}$,
- rechteckförmigem Sendesignal mit den Signalwerten $\pm s_{0}$ und der Bitdauer $T_{\rm B}$,
- AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_{0},$
- Empfangsfilter gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,
- Entscheider mit der optimalen Schwelle $E = 0$.
Wenn nichts anderes angegeben ist, so sollten Sie zudem von den folgenden Zahlenwerten ausgehen:
- $$ s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$
Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses „Basisbandsystems” wurde bereits in Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung angegeben (Index BB):
- $$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}.$$
Hierbei bezeichnet $\sigma_{d}$ den Rauscheffektivwert am Entscheider und Q$(x)$ die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion, die hier tabellarisch gegeben ist. Diese Fehlerwahrscheinlichkeit kann man auch in der Form
- $$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$
schreiben, wobei $E_{\rm B}$ die „Energie pro Bit” bezeichnet. Die Fehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit Binary Phase Shift Keying (BPSK) lautet:
- $$p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/{T_{\rm B}}}.$$
Hinweis:
Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation Da hier $s_{0}$ in „Volt” angegeben ist, besitzt $E_{\rm B}$ die Einheit „$\rm V^{2}/Hz$”.
Fragebogen
Musterlösung
