Aufgabe 1.10: BPSK–Basisbandmodell

Unsymmetrischer Kanalfrequenzgang

Wir betrachten in dieser Aufgabe ein BPSK–System mit kohärenter Demodulation, das heißt, es gilt

$$s(t) \ = \ z(t) \cdot q(t),$$

$$b(t) \ = \ 2 \cdot z(t) \cdot r(t) .$$

Die hier gewählten Bezeichnungen lehnen sich an das Blockschaltbild im Theorieteil an.

Der Einfluss eines Kanalfrequenzgangs $H_{\rm K}(f)$ lässt sich in einfacher Weise berücksichtigen, wenn man diesen zusammen mit Modulator und Demodulator durch einen gemeinsamen Basisbandfrequenzgang beschreibt:

$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \left [ H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\right ] .$$

Damit werden

Modulator und Demodulator quasi gegeneinander gekürzt,
der Bandpasskanal $H_{\rm K}(f)$ in den Tiefpassbereich transformiert.

Die resultierende Übertragungsfunktion $H_{\rm MKD}(f)$ sollte man nicht mit der Tiefpass–Übertragungsfunktion $H_{\rm K, \, TP}(f)$ gemäß der Beschreibung im Kapitel Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion des Buches „Signaldarstellung” verwechseln, die sich aus $H_{\rm K}(f)$ durch Abschneiden der Anteile bei negativen Frequenzen sowie einer Frequenzverschiebung um $f_{\rm T}$ nach links ergibt. Bei Frequenzgängen muss im Gegensatz zu den Spektralfunktionen auf die Verdoppelung der Anteile bei positiven Frequenzen verzichtet werden.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Basisbandmodell für ASK und BPSK.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Richtig sind die die Aussagen 2, 3 und 4. $H_{\rm K,TP}(f)$ ergibt sich aus $H_{\rm K}(f)$ durch Abschneiden der negativen Frequenzanteile sowie Verschieben um $f_{\rm T}$ nach links. Bei Frequenzgängen wird – im Gegensatz zu Spektren – auf das Verdoppeln der Anteile bei positiven Frequenzen verzichtet. Deshalb gilt:

$$H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f= 0) = H_{\rm K}(f= f_{\rm T})=1.$$

Wegen der reellen unsymmetrischen Spektralfunktionen $H_{\rm K,TP}(f)$ ist die Fourierrücktransformierte $h_{\rm K,TP}(t)$ nach dem Zuordnungssatz komplex.

Tiefpassfunktionen für $H_{\rm K}(f)$

(2) Hier ist nur der dritte Lösungsvorschlag richtig. Die Spektralfunktion $H_{\rm MKD}(f)$ besitzt stets einen geraden Realteil. Demzufolge ist $h_{\rm MKD}(t)$ stets reell. Hätte $H_{\rm K}(f)$ zusätzlich einen um $f_{\rm T}$ ungeraden Imaginärteil, so würde $H_{\rm MKD}(f)$ einen um $f = 0$ ungeraden Imaginärteil aufweisen. Damit wäre $h_{\rm MKD}(t)$ immer noch eine reelle Funktion.

Die Grafik verdeutlicht die Unterschiede zwischen $H_{\rm K,TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$. Die Anteile von $H_{\rm MKD}(f)$ im Bereich um $\pm 2f_{\rm T}$ müssen nicht weiter beachtet werden.

(3) $H_{\rm MKD}(f)$ setzt sich additiv aus einem Rechteck und einem Dreieck zusammen, jeweils mit Breite $\delta f_{\rm K}$ und Höhe $0.5$. Daraus folgt:

$$h_{\rm MKD}(t) = \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot {\rm si} (\pi \cdot \Delta f_{\rm K} \cdot t)+ \frac{\Delta f_{\rm K}}{4} \cdot {\rm si}^2 (\pi \cdot \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot t)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_{\rm MKD}(t = 0) = \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} + \frac{\Delta f_{\rm K}}{4} = 0.75 \cdot \Delta f_{\rm K}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_{\rm MKD}(t = 0)/{\Delta f_{\rm K}} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.75} .$$

(4) Die erste si–Funktion besitzt zwar äquidistante Nulldurchgänge im Abstand $1/\Delta f_{\rm K}$. Die äquidistanten Nulldurchgänge der gesamten Zeitfunktion $h_{\rm MKD}$ werden aber durch den zweiten Term bestimmt:

$$h_{\rm MKD}(t = \frac{1}{\Delta f_{\rm K}}) = \ \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot {\rm si} (\pi )+ \frac{\Delta f_{\rm K}}{4} \cdot {\rm si}^2 (\pi/2) = \frac{\Delta f_{\rm K}}{4},$$

$$h_{\rm MKD}(t = \frac{2}{\Delta f_{\rm K}}) = \ \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot {\rm si} (2\pi )+ \frac{\Delta f_{\rm K}}{4} \cdot {\rm si}^2 (\pi) = 0.$$

Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag.

	Es gilt $H_{\rm K, \, TP}(f=0)= 2$.
	Es gilt $H_{\rm K, \, TP}(f = \Delta f_{\rm K}/4) = 1$.
	Es gilt $H_{\rm K, \, TP}(f = –\Delta f_{\rm K}/4) = 0.75$.
	Die dazugehörige Zeitfunktion $h_{\rm K, \, TP}(t)$ ist komplex.

	Es gilt $H_{\rm MKD}(f=0)= 2$.
	Es gilt $H_{\rm MKD}(f = \Delta f_{\rm K}/4) = 1$.
	Es gilt $H_{\rm MKD}(f = –\Delta f_{\rm K}/4) = 0.75$.
	Die dazugehörige Zeitfunktion $h_{\rm MKD}(t)$ ist komplex.

	$h_{\rm MKD}(t)$ hat äquidistante Nulldurchgänge im Abstand $1/\Delta f_{\rm K}$.
	$h_{\rm MKD}(t)$ hat äquidistante Nulldurchgänge im Abstand $2/\Delta f_{\rm K}$.