Aufgabe 4.16: Binary Frequency Shift Keying

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Bandpass-Signale der FSK

Bei der binären FSK werden die beiden Nachrichten $m_0$ und $m_1$ durch zwei unterschiedliche Frequenzen dargestellt. Für die beiden möglichen Bandpass–Signale gilt dann jeweils im Bereich $0 ≤ t ≤ T$ mit $f_0 = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A}$ sowie $f_1 = f_{\rm T} \, – \Delta f_{\rm A}$:

$$s_{\rm BP0}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{2E/T} \cdot \cos( 2\pi f_0 t)\hspace{0.05cm},$$

$$ s_{\rm BP1}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{2E/T} \cdot \cos( 2\pi f_1 t)\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt beispielhafte Signale. In obiger Gleichung gibt $f_{\rm T}$ die Trägerfrequenz an und $\Delta f_{\rm A}$ den Frequenzhub als die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz von der Trägerfrequenz an. $T$ ist die Symboldauer und $E$ die Signalenergie. Dabei gilt gleichermaßen für die mittlere Symbolenergie und die mittlere Bitenergie:

$$E_{\rm S} = E_{\rm B} = E\hspace{0.05cm}.$$

Meist arbeitet man mit dem Modulationsindex, der als das Verhältnis von Gesamtfrequenzhub und Symbolrate definiert ist:

$$h = \frac{2 \cdot \Delta f_{\rm A}}{1/T} = 2 \cdot \Delta f_{\rm A} \cdot T \hspace{0.05cm}.$$

Die äquivalente Tiefpassdarstellung führt unter Verwendung von $h$ zu den beiden komplexen Signalen

$$ s_{\rm TP0}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{E/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm},$$

$$ s_{\rm TP1}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{E/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm}.$$

Eine orthogonale FSK liegt vor, wenn das innere Produkt den Wert $0$ ergibt:

$$< \hspace{-0.05cm}s_{\rm TP0}(t) \cdot s_{\rm TP1}(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm}= \int_{0}^{T} s_{\rm TP0}(t) \cdot s_{\rm TP1}^{\star}(t) \,{\rm d} t =0 \hspace{0.05cm}.$$

In diesem Fall ist auch eine nichtkohärente Demodulation wie im Kapitel Trägerfrequenzensysteme mit nichtkohärenter Demodulation beschrieben möglich.

Das innere Produkt der BP–Signale kann aus dem inneren Produkt der TP–Signale ermittelt werden:

$$< \hspace{-0.05cm}s_{\rm BP0}(t) \cdot s_{\rm BP1}(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm}= {\rm Re}\left [ \hspace{0.1cm}< \hspace{-0.05cm}s_{\rm TP0}(t) \cdot s_{\rm TP1}(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.15cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$

Gilt $〈 s_{\rm BP0}(t) \cdot s_{\rm BP1}(t)〉 = 0$, aber gleichzeitig auch $〈 s_{\rm TP0}(t) \cdot s_{\rm TP1}(t)〉 ≠ 0$, so ist zwar eine kohärente Demodulation möglich, aber keine nichtkohärente.

Hinweise:

• Die Aufgabe beschreibt die im Kapitel 4.4 auf Seite 8 und Seite 9 behandelte Thematik.

Fragebogen

1

Welche Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ und welcher Frequenzhub liegen der Grafik auf der Angabenseite zugrunde?

$f_{\rm T}$ = $\ \cdot 1/T$

$\Delta f_{\rm A}$ = $\ \cdot 1/T$

2

Welchem Modulationsindex $h$ entspricht dieser Frequenzhub?

$h$ =

3

Für welche Werte von $h$ ist die Orthogonalität der TP–Signale gegeben?

	$h = 0.5$,
	$h = \pi/4$,
	$h = 1$,
	$h = 2$.

4

Für welche Werte von $h$ ist die Orthogonalität der BP–Signale gegeben?

	$h = 0.5$,
	$h = \pi/4$,
	$h = 1$,
	$h = 2$.

5

Welche Aussagen gelten hinsichtlich kohärenter/nichtkohärenter Demodulation?

	Kohärente Demodulation ist immer möglich.
	Ist nichtkohärente Demodulation möglich, so geht auch kohärente.
	Ist kohärente Demodulation möglich, so geht auch nichtkohärente.

Musterlösung

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