Aufgabe 1.08Z: Äquivalente Codes

Vier verschiedene (6, 3)–Blockcodes

In der Grafik sind die Zuordnungen $\underline{u} → \underline{x}$ für verschiedene Codes angegeben, die im Folgenden jeweils durch die Generatormatrix G und die Prüfmatrix H charakterisiert werden:

$\color{red}{\boldsymbol{\rm Code \ A}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$

$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

$\color{red}{\boldsymbol{\rm Code \ B}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$

$$ { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

$\color{red}{\boldsymbol{\rm Code \ C}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$

$\color{red}{\boldsymbol{\rm Code \ D}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe soll untersucht werden, welche dieser Codes bzw. Codepaare

systematisch sind,
identisch sind (das heißt: Verschiedene Codes haben gleiche Codeworte),
äquivalent sind (das heißt: Verschiedene Codes haben gleiche Codeparameter).

Hinweis :

Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes Anzumerken ist, dass die Angabe einer Prüfmatrix H nicht eindeutig ist. Verändert man die Reihenfolge der Prüfgleichungen, so entspricht dies einer Vertauschung von Zeilen.

Fragebogen

Musterlösung

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

	Falsch
	Richtig