Aufgabe 3.5: GMSK–Modulation

GMSK-Modulation

Das bei GSM eingesetzte Modulationsverfahren ist $\color{red} {\rm Gaussian \ Minimum \ Shift Keying}$, kurz GMSK. Es handelt sich hierbei um eine spezielle Art von FSK (Frequency Shift Keying) mit CP–FSK (Phasenanpassung), bei der

der Modulationsindex den kleinsten Wert besitzt, der die Orthogonalitätsbedingung gerade noch erfüllt: $h = 0.5 \Rightarrow Minimum \ Shift \ Keying$,
ein Gaußtiefpass mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ vor dem FSK–Modulator, der mit dem Ziel eingebracht ist, so noch weiter Bandbreite einzusparen.

Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt:

Die digitale Nachricht wird durch die Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu} ∈ \{±1\}$ repräsentiert, die einem Diracpuls beaufschlagt sind. Anzumerken ist, dass die eingezeichnete Folge für die Teilaufgabe (3) vorausgesetzt wird.

Der Rechteckimpuls sei dimensionslos, symmetrisch und besitze die GSM–Bitdauer $T_{\rm B} = T$:

$$g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| < T/2 \hspace{0.05cm}, \\ |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| > T/2 \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Damit ergibt sich für das Rechtecksignal:

$$q_{\rm R} (t) = q_{\rm \delta} (t) \star g_{\rm R}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g_{\rm R}(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$

Der Gaußtiefpass ist durch seinen Frequenzgang bzw. seine Impulsantwort gegeben:

$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\cdot (\frac{f}{2 f_{\rm G}})^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\cdot (2 f_{\rm G}\cdot t)^2}\hspace{0.05cm},$$

wobei die systemtheoretische Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ verwendet wird. In der GSM–Spezifikation wird aber die 3dB–Grenzfrequenz mit $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$ angegeben. Daraus kann $f_{\rm G}$ direkt berechnet werden – siehe Teilaufgabe (2).

Das Signal nach dem Gaußtiefpass lautet somit:

$$q_{\rm G} (t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei wird g(t) als Frequenzimpuls bezeichnet. Für diesen gilt:

$$g(t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) \hspace{0.05cm}.$$

Mit dem tiefpassgefilterten Signal $q_{\rm G}(t)$, der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ und dem Frequenzhub $\Delta f_{\rm A}$ kann somit für die Augenblicksfrequenz am Ausgang des FSK–Modulators geschrieben werden:

$$f_{\rm A}(t) = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \cdot q_{\rm G} (t)\hspace{0.05cm}.$$

Verwenden Sie für Ihre Berechnungen die beispielhaften Werte $f_{\rm T} = 900 \ \rm MHz$ und $\Delta f_{\rm A} = 68 \ \rm kHz$.

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Die Charakteristika von GSM.
Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Funkschnittstelle im Buch „Beispiele von Nachrichtensystemen”.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Verwenden Sie zur Lösung der Aufgabe das Gaußintegral:

$$\phi(x) =\frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int^{x} _{-\infty} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u \hspace{0.05cm}.$$

$\hspace{15cm}$Insbesondere gilt:

Tabelle der Gaußschen Fehlerfunktion

Fragebogen

${\rm Max} \ [f_{\rm A}(t)] \ = \ $

$\ \rm MHz$

${\rm Min} \ [f_{\rm A}(t)] \ = \ $

$\ \rm MHz$

$f_{\rm G} \cdot T \ = \ $

$g(t = 0) \ = \ $

$\ \rm $

$q_{\rm G}(t = 3T) \ = \ $

$g(t = ±T) \ = \ $

${\rm Max} \ [|q_{\rm G}(t)|] \ = \ $

Musterlösung

(1) Sind alle Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu}$ gleich $+1$, so ist $q_{\rm R}(t) = 1$ eine Konstante. Damit hat der Gaußtiefpass keinen Einfluss und es ergibt sich $q_{\rm G}(t) = 1$. Die maximale Frequenz ist somit

$${\rm Max}[f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline {= 900.068\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$

Das Minimum der Augenblicksfrequenz

$${\rm Min}[f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} - \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline { = 899.932\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$

ergibt sich, wenn alle Amplitudenkoeffizienten negativ sind. In diesem Fall ist $q_{\rm R}(t) = q_{\rm G}(t) = –1$.

(2) Diejenige Frequenz, bei der die logarithmierte Leistungsübertragungsfunktion gegenüber $f = 0$ um $3 \ \rm dB$ kleiner ist, bezeichnet man als die 3dB–Grenzfrequenz. Dies lässt sich auch wie folgt ausdrücken:

$$\frac {|H(f = f_{\rm 3dB})|}{|H(f = 0)|}= \frac{1}{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm}.$$

Insbesondere gilt für den Gaußtiefpass wegen $H(f = 0) = 1$:

$$ H(f = f_{\rm 3dB})= {\rm e}^{-\pi\cdot ({f_{\rm 3dB}}/{2 f_{\rm G}})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(\frac{f_{\rm 3dB}}{2 f_{\rm G}})^2 = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}{\pi} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm G} = \sqrt{\frac{\pi}{4 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}}\cdot f_{\rm 3dB}\hspace{0.05cm}.$$

Die numerische Auswertung führt auf $f_{\rm G} \approx 1.5 \cdot f_{\rm 3dB}$. Aus $f_{\rm 3dB} \cdot T = 0.3$ folgt somit $f_{\rm G} \cdot T \underline{\approx 0.45}$.

(3) Der gesuchte Frequenzimpuls ${\rm g}(t)$ ergibt sich aus der Faltung von Rechteckfunktion $g_{\rm R}(t)$ und der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$:

$$g(t) = g_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot \int^{t + T/2} _{t - T/2} {\rm e}^{-\pi\cdot (2 f_{\rm G}\cdot \tau)^2}\,{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$

Mit der Substitution $u^{2} = 8π \cdot {f_{G}}^{2} \cdot \tau^{2}$ und der Funktion $\phi (x)$ kann man hierfür auch schreiben:

$$g(t) = \ \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int^{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2)} _{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u =$$

$$\hspace{0.73cm}= \ \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2))- \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)) \hspace{0.05cm}.$$

Für die Zeit $t = 0$ gilt unter Berücksichtigung von $\phi (–x) = 1 – \phi (x)$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$:

$$g(t = 0) = \ \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(-\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)=$$

$$\hspace{0.65cm} = \ 2 \cdot \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)-1 \approx 2 \cdot \phi(1.12)-1 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.737} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Mit $a_{3} = +1$ würde sich $q_{\rm G}(t = 3 T) = 1$ ergeben. Aufgrund der Linearität gilt somit:

$$q_{\rm G}(t = 3 T ) = 1 - 2 \cdot g(t = 0)= 1 - 2 \cdot 0.737 \hspace{0.15cm} \underline {= -0.474} \hspace{0.05cm}.$$

(5) Mit dem Ergebnis aus (3) und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$ erhält man:

$$g(t = T) = \ \phi(3 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)= $$

$$\hspace{1.6cm} \approx \phi(3.36)-\phi(1.12) = 0.999 - 0.868 \hspace{0.15cm} \underline { = 0.131} \hspace{0.05cm}.$$

Der Impulswert $g(t = –T)$ ist aufgrund der Symmetrie des Gaußtiefpasses genau so groß.

(6) Bei alternierender Folge sind aus Symmetriegründen die Beträge $|q_{\rm G}(\mu \cdot T)|$ bei allen Vielfachen der Bitdauer $T$ alle gleich. Alle Zwischenwerte bei $t \approx \mu \cdot T$ sind dagegen kleiner. Unter Berücksichtigung von $g(t ≥ 2T) \approx 0$ wird jeder einzelne Impulswert $g(0)$ durch den vorangegangenen Impuls mit $g(t = T)$ verkleinert, ebenso vom folgenden Impuls mit $g(t = –T)$.

Es ergeben sich also Impulsinterferenzen und man erhält:

$${\rm Max} \hspace{0.08cm}[q_{\rm G}(t)] = g(t = 0) - 2 \cdot g(t = T) = 0.737 - 2 \cdot 0.131 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.475 }\hspace{0.05cm}.$$