Aufgabe 2.1: Zweidimensionale Impulsantwort
Es soll die zweidimensionale Impulsantwort
- $$h(\tau,\hspace{0.05cm}t) = \sum_{m = 1}^{M} z_m(t) \cdot {\rm \delta} (\tau - \tau_m)$$
gemäß der nebenstehenden Grafik analysiert werden. Die beiden Achsen sind zeitdiskret:
- $\tau$ kennzeichnet die Verzögerungszeit und kann im Beispiel Werte zwischen $0$ und $6 \ {\rm \mu s}$ annehmen.
- Die absolute Zeit $t$ macht Aussagen über die Häufigkeit der Momentaufnahmen und charakterisiert die Zeitvarianz. Es gilt $t = n \cdot T$, wobei $T >> \tau_{\rm max}$ gelten soll.
Die Pfeile in der Grafik markieren verschiedene Diracfunktionen mit den Impulsgewichten $1$ (rot), $1/2$ (blau) und $1/4$ (grün). Das bedeutet, dass hier auch die Verzögerungszeit $\tau$ zeitdiskret ist.
Bei den Messungen der Impulsantworten zu verschiedenen Zeiten $t$ im Sekundenabstand betrug die Auflösung der $\tau$–Achse $2$ Mikrosekunden $(\Delta \tau = 2 \ \rm \mu s)$. Genauer wurden die Echos nicht lokalisiert.
Weiter wird in dieser Aufgabe noch auf folgende Größen Bezug genommen:
- die zeitvariante Übertragungsfunktion entsprechend der Definition
- $$H(f,\hspace{0.05cm} t) \hspace{0.2cm} \stackrel {f,\hspace{0.05cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} h(\tau,\hspace{0.05cm}t) \hspace{0.05cm},$$
- die Näherung der Kohärenzbandbreite als Kehrwert der maximalen Ausdehnung von $h(\tau, t)$:
- $$B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' = \frac{1}{\tau_{\rm max} - \tau_{\rm min}} \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme.
- Genauere Informationen zu verschiedene Definitionen für die Kohärenzbandbreite finden Sie im Kapitel Das GWSSUS–Kanalmodell, insbesondere in der Musterlösung zur Aufgabe Aufgabe Z2.7.
- Anzumerken ist, dass es sich hier um eine konstruierte Aufgabe handelt. Entsprechend obiger Grafik ändert sich die 2D–Impulsantwort während der Zeitspanne $T$ gravierend. Deshalb ist $T$ hier als sehr groß zu interpretieren, zum Beispiel eine Stunde. Im Mobilfunk ändert sich $h(\tau, t)$ unter Berücksichtigung des Dopplereffektes im Millisekundenbereich, doch sind die Änderungen während dieser Zeit eher moderat.
Fragebogen
Musterlösung
(2) $H(f, t_{\rm b}) = 1$ bedeutet im Zeitbereich $h(\tau, t_{\rm b}) = \delta(\tau)$. Nur dann ist der Kanal ideal. Man erkennt aus der Grafik, dass dies nur für den Zeitpunkt $t_{\rm b} \ \underline {= 0}$ zutrifft.
(3) Verzerrungen treten dann auf, wenn sich zum Zeitpunkt $t$ die Impulsantwort aus zwei oder mehr Diracfunktionen zusammensetzt ⇒ $t ≥ t_{\rm c} \ \underline {= 3T}$. Zum Zeitpunkt $t = T$ wird das Signal $s(t)$ nur um $2 \ \rm \mu s$ verzögert, bei $t = 2T$ zusätzlich noch in der Amplitude um $50 \%$ ($6 \ \rm dB$ Verlust) reduziert.
(4) Zum Zeitpunkt $t = 3T$ treten die beiden Diracfunktionen bei $\tau_{\rm min} = 0$ und $\tau_{\rm max} = 4 \ \rm \mu s$ auf. Die (einfache Näherung für die) Kohärenzbandbreite ist der Kehrwert hiervon:
- $$B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' = \frac{1}{4\,\,{\rm \mu s} } \hspace{0.25cm} \underline{ = 250\,\,{\rm kHz}} \hspace{0.05cm}.$$
Da auch zum Zeitpunkt $t = 4T$ die Diracfunktionen um $4 \ \rm \mu s$ auseinanderliegen, erhält man hier ebenfalls $B_{\rm K}' = \underline {250 \ \rm kHz}$. Bei $t = 5T$ hat die Impulsantwort eine Ausdehnung von $6 \ \rm \mu s \Rightarrow {\it B}_{\rm K}' \ \underline {\approx 167 \ \rm kHz}$.
(5) Die Impulsantworten sind zu den Zeiten $5T$, $6T$ und $7T$ identisch und bestehen jeweils aus 3 Diracs. Unter der Annahme, dass sich diesbezüglich für $t ≥ 8T$ nichts ändert, erhält man $t_{\rm e} \ \underline {= 5T}$.
(6) Die zeitliche Veränderung der Impulsantwort, deren Dynamik durch den Parameter $T$ ausgedrückt wird, muss langsam sein im Vergleich zur maximalen Ausdehnung von $h(\tau, t)$, die in dieser Aufgabe gleich $\tau_{\rm max} = 6 \ \rm \mu s$ beträgt: $T >> \tau_{\rm max}$. Richtig ist der Lösungsvorschlag 2.
