Aufgabe 2.3: Noch ein weiterer Mehrwegekanal

Vorgegebene Rechteckantwort

Wir betrachten einen Mehrwegekanal, der durch folgende Impulsantwort charakterisiert wird:

$$h(\tau, t) = h(\tau) = \sum_{m = 1}^{M} k_m \cdot \delta( \tau - \tau_m) \hspace{0.05cm}.$$

Alle Koeffizienten $k_{\rm m}$ seien reell (positiv oder negativ). Weiterhin ist anzumerken:

Aus der Angabe $h(\tau, t) = h(\tau)$ erkennt man, dass der Kanal zeitinvariant ist.
Allgemein weist der Kanal $M$ Pfade auf. Der $M$–Wert soll aus der Grafik bestimmt werden.
Für die Verzögerungszeiten gelten folgende Relationen: $\tau_1 < \tau_2 < \tau_3 < \ ...$

Die Grafik zeigt das Ausgangssignal $r(\tau)$ des Kanals, wenn am Eingang folgendes Sendesignal anliegt (dargestellt im äquivalenten Tiefpassbereich):

$$s(\tau) = \left\{ \begin{array}{c} s_0\\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} 0 \le \tau < 5\,{\rm \mu s}, \\ {\rm sonst}. \\ \end{array}$$

Gesucht wird die dazugehörige Impulsantwort $h(\tau)$ sowie die Übertragungsfunktion $H(f)$.

Hinweise:

Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Mehrwegeempfang beim Mobilfunk.
Gehen Sie bei der Lösung der Teilaufgabe (1) davon aus, dass sich die Impulsantwort $h(\tau)$ über 5 Mikrosekunden erstreckt.

Fragebogen

$M \ = \ $

$\tau_1 \ = \ $

$\ \rm \mu s,$

$\tau_2 \ = \ $

$\ \rm \mu s,$

$\tau_3 \ = \ $

$\ \rm \mu s.$

$k_1 \ = \ $

$k_2 \ = \ $

$k_3 \ = \ $

$f_0 \ = \ $

$\ \rm kHz$

$|H(f = 0)| \ = \ $

$|H(f = 250 \ \rm kHz)| \ = \ $

$|H(f = 500 \ \rm kHz)| \ = \ $

${\rm Worst \ Case \ für} \ f = 250 \ \rm kHz \text{:} \hspace{0.4cm} k_3 \ = \ $

Musterlösung

(1) Es gilt hier $r(\tau) = s(\tau) ∗ h(\tau)$, wobei $s(\tau)$ ein Rechteckimpuls der Dauer $T = 5 \ \rm \mu s$ bezeichnet und die Impulsantwort $h(\tau)$ sich allgemein aus $M$ gewichteten Diracfunktionen bei $\tau_1, \tau_2, \ ... \ , \tau_M$ zusammengesetzt. Das skizzierte Ausgangssignal $r(\tau)$ kann sich nur ergeben, falls

$\tau_1 = 0$ ist (sonst würde $r(\tau)$ nicht bei $\tau = 0$ beginnen),
$\tau_M = 10 \ \rm \mu s$ ist (daraus ergibt sich der Rechteckverlauf zwischen $10 \ \rm \mu s$ und $15 \ \rm \mu s$),
dazwischen noch eine Diracfunktion bei $\tau_2 = 2 \ \rm \mu s$ auftritt.

Das heißt: Die Impulsantwort setzt sich hier aus $\underline {M = 3}$ Diracfunktionen zusammen.

(2) Wie bereits bei der letzten Teilaufgabe berechnet, erhält man

$$\tau_1 \hspace{0.1cm} \underline {= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_2 \hspace{0.1cm} \underline {= 2\,{\rm \mu s}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_3 \hspace{0.1cm} \underline {= 10\,{\rm \mu s}}\hspace{0.05cm}.$$

(3) Vergleicht man Eingang $s(\tau)$ und Ausgang $r(\tau)$, so gelangt man zu folgenden Ergebnissen:

Intervall $0 < \tau < 2 \ {\rm \mu s} \text{:} \, s(\tau) = s_0, r(\tau) = 0.75 \cdot s_0 \,\,\Rightarrow\,\, k_1 \ \underline {= 0.75}$,
Intervall $2 \ {\rm \mu s} < \tau < 5 \ {\rm \mu s} \text{:} \, (k_1 + k_2) \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \Rightarrow k_2 \ \underline {= \, –0.50}$,
Intervall $10 \ {\rm 10 \mu s} < \tau < 15 \ {\rm \mu s} \text{:} \, k_3 \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \,\Rightarrow\, k_3 \ \underline {= 0.25}$.

(4) Mit dem Verschiebungssatz erhält man für die Fouriertransformatierte der Impulsantwort $h(\tau)$:

$$h(\tau) = k_1 \cdot \delta( \tau) + k_2 \cdot \delta( \tau - \tau_2)+ k_3 \cdot \delta( \tau - \tau_3) $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H(f) = k_1 + k_2 \cdot {\rm exp}(- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau_2)+ k_3 \cdot {\rm exp}(- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau_3) \hspace{0.05cm}. $$

Durch Analyse der einzelnen Beiträge kommt man zu folgendem Ergebnis:

Der erste Anteil ist konstant &#nbsp;⇒&#nbsp; Periode $f_1 → ∞$.
Der zweite Anteil ist periodisch mit $f_2 = 1/\tau_2 = 500 \ \rm kHz$.
Der dritte Anteil ist periodisch mit $f_3 = 1/\tau_3 = 100 \ \rm kHz$.

⇒ Insgesamt ist damit $H(f)$ periodisch mit $f_0 \ \underline {= 500 \ \rm kHz}$.

(5)

(6)