Aufgabe 2.6: Einheiten bei GWSSUS

GWSSUS–Funktionen

Der Mobilfunkkanal kann in sehr allgemeinen Form durch vier Systemfunktionen beschrieben werden, wobei der Zusammenhang zwischen je zwei Funktionen durch

die Fouriertransformation bzw.
die Fourierrücktransformation

gegeben ist.

Wir bezeichnen die Funktionen einheitlich mit $\eta_{12}$. Die Indizes seien wie folgt vereinbart:

V steht für Verzögerung $\tau$ (Index „1”),
F steht für die Frequenz $f$ (Index „1”),
Z steht für die Zeit $t$ (Index „2”),
D ist die Dopplerfrequenz $f$ (Index „2”).

Der Zusammenhang zwischen den Funktionen ist in der oberen Grafik (gelbe Hinterlegung) dargestellt. Fourierkorrespondenzen sind grün eingezeichnet:

Der Übergang von einem weiß gefüllten zu einem grün gefüllten Kreis entspricht einer Fouriertransformation.
Der Übergang von einem grün gefüllten zu einem weiß gefüllten Kreis (Gegenrichtung) entspricht einer Fourierrücktransformation.

Beispielsweise gilt:

$$\eta_{\rm VZ}(\tau, t) \hspace{0.2cm} \stackrel{\tau, \hspace{0.02cm}f}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm FZ}(f,t)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}\eta_{\rm FZ}(f,t) \hspace{0.2cm} \stackrel{f, \hspace{0.02cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VZ}(\tau, t)\hspace{0.05cm}.$$

Die hieraus abgeleitete Korrelationsfunktion „$\varphi_{12}$” und das Leistungsdichtespektrum „$\it \Phi_{12}$” werden mit den gleichen Indizes versehen wie die Systemfunktion $\eta_{12}$. Korrelationsfunktionen erkennt man in der unteren Grafik an der roten Schrift und alle Leistungsdichtespektren sind blau beschriftet. Es wird stets vom GWSSUS–Modell ausgegangen.

Betrachten wir hier die Systemfunktion $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$, also die zeitvariante Impulsantwort $h(\tau, t)$. Für diese ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:

$$\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau_1, t_1) \cdot \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm},$$

$$\Delta \tau = \tau_2 - \tau_1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \Delta t = t_2 - t_1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}, $$

$$\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = \delta(\Delta \tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}.$$

$${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t = 0)\hspace{0.05cm}. $$

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Das GWSUS–Kanalmodell.

Fragebogen

Musterlösung

(1) (2) (3) (4) (5)

	$\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.
	$\eta_{\rm FZ}(f, t)$ hat keine Einheit.
	$\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ hat keine Einheit.
	$\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$ hat die Einheit $[1/\rm Hz]$.

	$\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t)$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.
	$\it \Phi_{\rm VZ}(\tau, \Delta t)$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.
	$\it \Phi_{\rm V}(\tau)$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.

	$\varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \Delta t), \varphi_{\rm F}(\Delta f)$ und $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$ haben keine Einheit.
	$\it \Phi_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.
	$\it \Phi_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D})$ und $\it \Phi_{\rm D}(f_{\rm D})$ haben die Einheit $[1/\rm Hz]$.