Aufgabe 2.5: Ternäre Signalübertragung
Betrachtet wird ein ternäres Übertragungssystem ($M = 3$) mit den möglichen Amplitudenwerten $–s_0$, $0$ und $+s_0$. Bei der Übertragung addiert sich dem Signal ein additives Gaußsches Rauschen mit dem Effektivwert $\sigma_d$. Die Rückgewinnung des dreistufigen Digitalsignals beim Empfängers geschieht mit Hilfe von zwei Entscheiderschwellen bei $E_{–}$ bzw. $E_{+}$.
Zunächst werden die Auftrittswahrscheinlichkeiten von den drei Eingangssymbolen als gleichwahrscheinlich angenommen
- $$p_{\rm -} = {\rm Pr}(-s_0) = {1}/{ 3}, \hspace{0.15cm} p_{\rm 0} = {\rm Pr}(0) = {1}/{ 3}, \hspace{0.15cm} p_{\rm +} = {\rm Pr}(+s_0) ={1}/{ 3}\hspace{0.05cm}.$$
Die Entscheiderschwellen liegen vorerst mittig bei $E_{–} = \, –s_0/2$ und $E_{+} = +s_0/2$.
Ab der Teilaufgabe (3) gelten für die Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{–} = p_+ = 1/4$ und $p_0 = 1/2$, wie in der Grafik dargestellt. Für diese Konstellation soll durch Variation der Entscheiderschwellen $E_{–}$ und $E_+$ die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ minimiert werden.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Redundanzfreie Codierung.
- Für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ eines $M$–stufigen Nachrichtenübertragungssystems mit gleichwahrscheinlichen Eingangssymbolen und Schwellenwerten genau in der Mitte zwischen zwei benachbarten Amplitudenstufen gilt:
- $$p_{\rm S} = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( {\frac{s_0}{(M-1) \cdot \sigma_d}}\right) \hspace{0.05cm}.$$
- Die Fehlerwahrscheinlichkeitswerte gemäß der ${\rm Q}$– bzw. der ${\rm erfc}$–Funktion können Sie mit folgendem Interaktionsmodul numerisch ermitteln: Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen
- Verwenden Sie zur Überprüfung der Ergebnisse das Berechnungsmodul Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
