Aufgabe 2.10: Fehlererkennung bei Reed–Solomon

Distanzspektren zweier Reed–Solomon–Codes

Bei einem linearen Blockcode können bis zu $e = d_{\rm min} - 1$ Fehler erkannt werden. Bei allen Reed–Solomon–Codes beträgt dabei die minimale Distanz

$$d_{\rm min} = n-k+1 \hspace{0.05cm}.$$

Man muss folgende Fälle unterscheiden:

Treten nicht mehr als $e = n - k$ Symbolfehler auf, so wird der Block als fehlerhaft erkannt.
Die Fehlererkennung kann auch bei mehr als $n - k$ Symbolfehlern noch funktionieren, und zwar dann, wenn das Empfangswort kein gültiges Codewort des Reed–Solomon–Codes ist:

$$\underline {y} \notin C_{\rm RS} = \{ \underline {c}_{\hspace{0.05cm}0}, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm}, \underline {c}_i, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm}, \underline {c}_{\hspace{0.05cm}n -1} \} \hspace{0.05cm}. $$

Ist aber das verfälschte Empfangswort $(\underline{y} ≠ \underline{c})$ ein gültiges Codewort ⇒ $\underline{y}$, so bleibt bei der Decodierung der fehlerhafte Block unentdeckt. Wir definieren als Blockfehlerwahrscheinlichkeit.

$${\rm Pr}({\rm Blockfehler}) = {\rm Pr}(\underline {y} \ne \underline {c}) \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe soll diese Wahrscheinlichkeit für folgende Codes ermittelt werden:

Reed–Solomon–Code $(7, \, 3, \, 5)_8 \ \Rightarrow \ d_{\rm min} = 5$,
Reed–Solomon–Code $(7, \, 5, \, 3)_8 \ \Rightarrow \ d_{\rm min} = 3$.

Weiterhin soll gelten:

Jedes Symbol wird mit der Wahrscheinlichkeit $\epsilon_{\rm S} = 0.1$ in ein anderes Symbol verfälscht und mit der Wahrscheinlichkeit $1 - \epsilon_{\rm S} = 0.9$ richtig übertragen.
Für das Distanzspektrum eines Reed–Solomon–Codes der Länge $n$ gilt mit $d = d_{\rm min}$:

$$W_i = {n \choose i} \cdot \sum_{j = 0}^{i-d}\hspace{0.15cm}(-1)^j \cdot {i \choose j} \cdot \big [\hspace{0.03cm}q^{i\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}j\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}d\hspace{0.03cm}+\hspace{0.03cm}1}-1 \hspace{0.03cm} \big ]\hspace{0.05cm}.$$

Daneben sollen zwei Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit betrachtet und bewertet werden:

Ist allein die minimale Distanz bekannt, so kann man daraus eine obere Schranke ableiten. Die Gewichtsfaktoren $W_i$ sind dabei so zu wählen, dass sicher (⇒ bei allen Konstellationen) gilt:

$${\rm Pr}({\rm Obere\hspace{0.15cm} Schranke}) \ge {\rm Pr}({\rm Blockfehler}) \hspace{0.05cm}. $$

Eine untere Schranke erfordert zusätzlich die Kenntnis der Gewichtsfunktion $W_i$ für $i = d_{\rm min}$. Damit kann folgende Bedingung erfüllt werden:

$${\rm Pr}({\rm Untere\hspace{0.15cm} Schranke}) \le {\rm Pr}({\rm Blockfehler}) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes.
Zu berechnen sind die in der obigen Grafik rot markierten Gewichte $W_i$.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

${\rm RSC} \, (7, \, 3, \, 5) \text{:} \hspace{0.2cm} W_3 \ = \ $

$\hspace{2.5cm} W_4 \ = \ $

$\hspace{2.5cm} W_5 \ = \ $

$\hspace{2.5cm} W_6 \ = \ $

$\hspace{2.5cm} W_7 \ = \ $

${\rm RSC} \, (7, \, 5, \, 3) \text{:} W_3 \ = \ $

$\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5) \text{:} \hspace{0.2cm} Pr(Blockfehler) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-5}$

$\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3) \text{:} \hspace{0.2cm} Pr(Blockfehler) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-5}$

${\rm RSC} \, (7, \, 3, \, 5) \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm oben} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-5}$

${\rm RSC} \, (7, \, 5, \, 3) \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm oben} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-3}$

${\rm RSC} \, (7, \, 3, \, 5) \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm unten} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-5}$

${\rm RSC} \, (7, \, 5, \, 3) \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm unten} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-5}$

Musterlösung

(1) (2) (3) (4) (5)