Aufgabe 4.11: C-Programm „akf1”

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Sie sehen nebenstehend das C-Programm „akf1” zur Berechnung der diskreten AKF-Werte $\varphi_x(k)$ mit dem Index $k = 0$, ... , $l$. Hierzu ist Folgendes zu bemerken:

• Der an das Programm übergebene Long-Wert sei $l = 10$. Die AKF-Werte $\varphi_x(0)$, ... , $\varphi_x(10)$ werden mit dem Float-Feld $\rm AKF[ \ ]$ an das aufrufende Programm zurückgegeben. In den Zeilen 7 und 8 des rechts anggebenen Programms wird dieses Feld mit Nullen vorbelegt.

• Die zu analysierenden Zufallsgrößen $x_\nu$ werden mit der Float-Funktion $x( \ )$ erzeugt (siehe Zeile 4). Diese Funktion wird insgesamt $N + l + 1 = 10011$ mal aufgerufen (Zeile 9 und 18).

• Im Gegensatz zu dem im Theoriteil angegebenen Algorithmus, der im Programm „akf2” von Zusatzaufgabe 4.11 direkt umgesetzt ist, benötigt man hier ein Hilfsfeld $H[ \ ]$ mit nur $l + 1 = 11$ Speicherelementen.

• Vor Beginn des eigentlichen Berechnungsalgorithmus (Zeile 11 bis 21) stehen in den 11 Speicherzellen die Zufallswerte $x_1$, ... , $x_{11}$.

• Die äußere Schleife mit der Laufvariablen $z$ (rot markiert) wird $N$-mal durchlaufen. In der inneren Schleife (weiß markiert) werden mit dem Laufindex $k = 0$, ... , $l$ alle Speicherzellen des Feldes ${\rm AKF}[ k ]$ um den Betrag $x_\nu \cdot x_{\nu+k}$ erhöht.

• In den Zeilen 22 und 23 werden schließlich alle AKF-Werte durch die Anzahl $N$ dividiert.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Autokorrelationsfunktion.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Numerische AKF-Ermittlung.

Fragebogen

1

Welche Elemente $i$ und $j$ des Hilfsfeldes ${\rm H}[ \ ]$ werden beim ersten Durchlauf $(z=0)$ zur Berechnung des AKF-Wertes $\varphi(k=6)$ verwendet? Welche Zufallswerte $x_\nu$ stehen in diesen Speicherzellen?

$i \ = $

$j \ = $

2

Welche Speicherzelle ${\rm H}[ i ]$ wird nach dem ersten Schleifendurchgang $(z=0)$ mit einer neuen Zufallsgröße $x_\nu$ belegt? Welcher Index $\nu$ wird dabei eingetragen?

$i \ = $

$\nu\ =$

3

Welche Speicherelemente ${\rm H}[ i ]$ und ${\rm H}[ j ]$ werden beim Schleifendurchlauf $z=83$ zur Berechnung des AKF-Wertes $\varphi(k=6)$ verwendet? Welche Zufallswerte stehen in diesen Speicherzellen?

$i \ = $

$j \ = $

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Mit $z= 0$ und $k=6$ ergibt sich gemäß dem Programm: $\underline{i= 0}$ und $\underline{j= 6}$.
Die entsprechenden Speicherinhalte sind ${\rm H}[ 0 ] = x_1$ und ${\rm H}[ 6 ] = x_7$.

(2)  In das Feld ${\rm H}[ 0 ]$ wird nun die Zufallsgröße $x_{12}$ eingetragen:

$$\text{Speicherzelle }\underline{i= 0},\hspace{1cm}\text{Folgenindex }\underline{\nu= 12}.$$

(3)  Das nachfolgende Bild zeigt die Belegung des Hilfsfeldes ${\rm H}[ 0 ]$ ... ${\rm H}[ 10 ]$ mit den Zufallswerten $x_\nu$.

• Jeweils grün hinterlegt ist die Speicherzelle ${\rm H}[ i ]$. In diesen Speicherplatz wird jeweils am Ende der Schleife (Zeile 18) die neue Zufallsgröße eingetragen.
• Für $z= 83$ und $K=6$ ergibt sich $\underline{i= 83 \mod \ 11 = 6}$ und $\underline{j= (i+k) \mod \ 11 = 1}$ .
• In diesen Speicherzellen liegen zu diesen Zeitpunkten die Zufallsgrößen $x_{84}$ und $x_{90}$.
• Am Ende des Schleifendurchlaufs $z= 83$ wird in ${\rm H}[ 6 ]$ der Wert $x_{84}$ durch $x_{95}$ ersetzt.