Aufgabe 2.1Z: Summensignal

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Rechtecksignal, Dreiecksignal und Summensignal

In nebenstehender Grafik sind die beiden periodischen Signale  ${x(t)}$  und  ${y(t)}$  dargestellt, aus denen das Summensignal  ${s(t)}$  – im unteren Bild skizziert – sowie das Differenzsignal  ${d(t)}$  gebildet werden.

Weiterhin betrachten wir in dieser Aufgabe das Signal  ${w(t)}$, das sich aus der Summe der beiden periodischen Signalen  ${u(t)}$  und  $v(t)$  ergibt. Die Grundfrequenzen der Signale seien

• $f_u = 998 \,\text{Hz},$

• $f_v = 1002 \,\text{Hz}.$

Mehr ist von diesen Signalen  ${u(t)}$  und  $v(t)$  nicht bekannt.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Allgemeine Beschreibung periodischer Signale.

Fragebogen

1

Wie groß ist Periodendauer  $T_x$  und Grundfrequenz  $f_x$  des Signals  ${x(t)}$?

$f_x\ = \ $   $\text{kHz}$

2

Wie groß ist Periodendauer  $T_y$  und Grundfrequenz  $f_y$  des Signals  ${y(t)}$?

$f_y\ = \ $   $\text{kHz}$

3

Bestimmen Sie die Grundfrequenz  $f_s$  sowie die Periodendauer  $T_s$  des Summensignals  ${s(t)}$  und überprüfen Sie das Ergebnis anhand der Skizze.

$T_s\ = \ $   $\text{ms}$

4

Welche Periodendauer  $T_d$  weist das Differenzsignal  ${d(t)}$  auf?

$T_d\ = \ $   $\text{ms}$

5

Welche Periodendauer  $T_w$  besitzt das Signal  ${w(t)} = {u(t)} + v(t)$?

$T_w\ = \ $   $\text{ms}$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Für das Rechtecksignal gilt $T_x = 1 \,\text{ms}$   ⇒   $f_x \hspace{0.15cm}\underline{= 1 \, \text{kHz}}$.

(2)  Für das Dreiecksignal gilt $T_y = 2.5 \,\text{ms}$ und $f_y \hspace{0.15cm}\underline{= 0.4\, \text{kHz}}$.

(3)  Die Grundfrequenz $f_s$ des Summensignals $s(t)$ ist der größte gemeinsame Teiler von $f_x = 1 \,\text{kHz}$ und $f_y = 0.4 \,\text{kHz}$. Daraus folgt $f_s = 200 \,\text{Hz}$ und die Periodendauer $T_s\hspace{0.15cm}\underline{ = 5 \,\text{ms}}$, wie auch aus der grafischen Darstellung des Signals ${s(t)}$ auf der Angabenseite hervorgeht.

Differenzsignal $d(t) = x(t) - y(t)$

(4)  Die Periodendauer $T_d$ ändert sich gegenüber der Periodendauer $T_s$ nicht, wenn das Signal ${y(t)}$ nicht addiert, sondern subtrahiert wird:     $T_d = T_s \hspace{0.15cm}\underline{= 5\, \text{ms}}$.

(5)  Der größte gemeinsame Teiler von $f_u = 998 \,\text{Hz}$ und $f_{v} = 1002 \,\text{Hz}$ ist $f_w = 2 \,\text{Hz}$. Der Kehrwert hiervon ergibt die Periodendauer $T_w \hspace{0.15cm}\underline{= 500 \,\text{ms}}$.