Aufgabe 5.3Z: Realisierung einer PN–Sequenz

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Zwei mögliche Realisierungen für PN–Generatoren

Die Grafik zeigt zwei mögliche Generatoren zur Erzeugung von PN–Sequenzen in unipolarer Darstellung:   $u_ν ∈ \{0, 1\}$.

• Der obere Generator mit den Koeffizienten

$$ g_0 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_1 = 0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_2 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_3 = 1 \hspace{0.05cm}$$

wird durch die Oktalkennung   $(g_3, g_2, g_1, g_0)_{\rm oktal} = (15)$  bezeichnet.

• Entsprechend ist die Oktalkennung des zweiten PN–Generators gleich  $(17)$.

• Man spricht von einer M–Sequenz, wenn für die Periodenlänge der Folge   $〈u_ν〉$  gilt:

$$P = 2^G – 1.$$

Hierbei bezeichnet   $G$  den Grad des Schieberegisters, der gleich der Anzahl der Speicherzellen ist.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Spreizfolgen für CDMA.
• Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel  Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen  im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
• Wir möchten Sie gerne auch auf das Lernvideo   Erläuterung der PN–Generatoren an einem Beispiel  hinweisen.

Fragebogen

1

Wie groß ist der Grad  $G$  der beiden hier betrachteten PN–Generatoren?

$G \ = \ $

2

Geben Sie die Periodenlänge  $P$  des PN–Generators mit der Oktalkennung  $(15)$  an.

$P\ = \ $

3

Welche der folgenden Aussagen treffen für jede M–Sequenz zu?

	Die Anzahl der Nullen und Einsen ist gleich.
	In jeder Periode gibt es eine Eins mehr als Nullen.
	Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist  $G$.
	Die Folge  $1 0 1 0 1 0$ ...   ist nicht möglich.

4

Geben Sie die Periodenlänge  $P$  des PN–Generators mit der Oktalkennung  $(17)$  an.

$P\ = \ $

5

Welcher PN–Generator liefert eine M–Sequenz?

	Der Generator mit der Oktalkennung  $(15)$.
	Der Generator mit der Oktalkennung  $(17)$.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Der Grad $\underline{G = 3}$ ist gleich der Anzahl der Speicherzellen des Schieberegisters.

(2)  Aus der angegebenen Folge ist die Periodenlänge $\underline{P = 7}$ ablesbar. Wegen $P = 2^G –1$ handelt es sich um eine M–Sequenz.

(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4:

• Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist $G$ (nämlich immer dann, wenn in allen $G$ Speicherzellen eine Eins steht).
• Es ist dagegen nicht möglich, dass alle Speicherzellen mit Nullen belegt sind (da sonst nur noch Nullen erzeugt würden).
• Deshalb gibt es stets eine Eins mehr als Nullen.
• Die Periodenlänge der letzten Folge beträgt $P = 2$. Bei einer M–Sequenz gilt $P = 2^G –1$. Für keinen Wert von $G$ ist $P = 2$ möglich.

(4)  Sind alle Speicherzellen mit Einsen belegt, so liefert der Generator mit der Oktalkennung (17) wieder eine $1$:

$$u_{\nu} \big [ u_{\nu-1} + u_{\nu-2} + u_{\nu-3} \big ] \,\,{\rm mod} \,\,2 =1 \hspace{0.05cm}.$$

Da sich so an der Speicherbelegung nichts ändert, werden auch alle weiteren erzeugten Binärwerte jeweils $1$ sein   ⇒   $\underline{P = 1}$.

(5)  Richtig ist die Antwort 1:

• Von einer M–Sequenz spricht man nur dann, wenn $P = 2^G –1$ gilt.
• „M” steht hierbei für „Maximal”.