Aufgabe 3.3Z: Optimierung eines Koaxialkabelsystems

Normierte Systemgrößen für verschiedene Grenzfrequenzen

Wir betrachten ein redundanzfreies binäres Übertragungssystem mit folgenden Spezifikationen:

Die Sendeimpulse sind NRZ–rechteckförmig und besitzen die Energie $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$.
Der Kanal ist ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung $a_* = 40 \, {\rm dB}$.
Es liegt AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0 = 0.0001 \cdot E_{\rm B}$ vor.
Der Empfängerfrequenzgang $H_{\rm E}(f)$ beinhaltet einen idealen Kanalentzerrer $H_{\rm K}^{\rm -1}(f)$ und einen Gaußtiefpass $H_{\rm G}(f)$ mit Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ zur Rauschleistungsbegrenzung.

Die Tabelle zeigt die Augenöffnung $\ddot{o}(T_{\rm D})$ sowie den Detektionsrauscheffektivwert $\sigma_{\rm d}$ – jeweils normiert auf die Sendeamplitude $s_0$ – für verschiedene Grenzfrequenzen $f_{\rm G}$. Die Grenzfrequenz ist so zu wählen, dass die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit möglichst klein ist, wobei folgende Definition gilt:

$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})/2}{ \sigma_d} \right) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}}\right)$$

Diese Größe stellt eine obere Schranke für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ dar: $p_{\rm S} \le p_{\rm U}$.
Für $f_{\rm G} \cdot T ≥ 0.4$ kann auch eine untere Schranke angegeben werden: $p_{\rm S} \ge p_{\rm U}/4$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung.
Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen.

Fragebogen

$f_\text{G, opt} \cdot T \ = \ $

$f_\text{G} = \text{G, opt:}\hspace{0.4cm} 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} \ = \ $

${\ \rm dB}$

$\hspace{4.07cm}p_{\rm U} \ = \ $

$\ \rm \%$

$N_0/E_{\rm B} \ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm -5}$

$p_\text{ S, min}\hspace{0.02cm} \ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm -6}$

$p_\text{ S, max} \ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm -6}$

Musterlösung

(1) Für die Optimierung genügt es , den Quotienten $\ddot{o}(T_{\rm D})/\sigma_d$ zu maximieren:

Dieser ist von den in der Tabelle gegebenen Werten für die Grenzfrequenz $f_{\rm G, opt} \cdot T \underline {= 0.4}$ mit $0.735/0.197 \approx 3.73$ maximal.
Zum Vergleich: Für $f_{\rm G} \cdot T = 0.3$ ergibt sich aufgrund der kleineren Augenöffnung $0.192/0.094 \approx 2.04$ und für $f_{\rm G} \cdot T = 0.5$ ist der Quotient ebenfalls kleiner als beim Optimum: $1.159/0.379 \approx 3.05$.
Eine noch größere Grenzfrequenz führt zu einem sehr großen Störeffektivwert, ohne dass gleichzeitig die vertikale Augenöffnung in gleicher Weise vergrößert wird.

(2) Mit dem Ergebnis aus (1) erhält man weiter:

$$\rho_{\rm U} = \left ( {3.73}/{2} \right )^2 \approx 3.48 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline { = 5.41\,{\rm dB}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q}\left ( {3.73}/{2} \right) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.031} \hspace{0.05cm}.$$

(3)

Mit dem gegebenen $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 = 40 \ \rm dB$, also $E_{\rm B}/N_0 = 10^4$ hat sich der ungünstigste Störabstand zu $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} \approx 5.41 \, {\rm dB}$ ergeben.
Für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} = 10^{\rm -6}$ muss aber $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} > 13.55 \, {\rm dB}$ sein.
Dies erreicht man, indem man den Quotienten $E_{\rm B}/N_0$ entsprechend erhöht:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} = 40\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}13.55\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}5.41\,{\rm dB}= 48.14\,{\rm dB}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm B}}/{N_0} = 10^{4.814}\approx 65163 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {N_0}/{E_{\rm B}}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.53 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$

(4)

Die obere Schranke für $p_{\rm S}$ ist gleich der ungünstigsten Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} = \underline {10^{\rm -6}}$.
Die untere Schranke liegt bei $\underline {0.25 \cdot 10^{\rm -6}}$, ist also um den Faktor 4 kleiner.