Aufgabe 1.08Z: Äquivalente Codes

Vier $(6, 3)$–Blockcodes

In der Grafik sind die Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$ für verschiedene Codes angegeben, die im Folgenden jeweils durch die Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$ und die Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ charakterisiert werden:

${\boldsymbol{\rm Code \ A}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

${\boldsymbol{\rm Code \ B}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

${\boldsymbol{\rm Code \ C}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$

${\boldsymbol{\rm Code \ D}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe soll untersucht werden, welche dieser Codes bzw. Codepaare

systematisch sind,
identisch sind (das heißt: Verschiedene Codes haben gleiche Codeworte),
äquivalent sind (das heißt: Verschiedene Codes haben gleiche Codeparameter).

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes".

Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten "Systematische Codes" sowie "Identische Codes".

Anzumerken ist, dass die Angabe einer Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ nicht eindeutig ist. Verändert man die Reihenfolge der Gleichungen, entspricht dies der Vertauschung von Zeilen.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Richtig sind die Antworten 1, 3 und 4:

Für einen systematischen (6, 3)–Blockcode muss gelten:

$$\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) = ( u_1, u_2, u_3, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$

Diese Bedingung erfüllen Code A, Code C und Code D, nicht aber Code B.

(2) Richtig ist nur Antwort 1:

Nur Code A und Code B sind identische Codes. Sie beinhalten genau die gleichen Codeworte und unterscheiden sich nur durch andere Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$.
Wie in der Musterlösung zur Aufgabe A1.8 (3) angegeben, gelangt man von der Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ zur Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A}$

allein durch Vertauschen/Permutieren von Zeilen, oder
durch Ersetzen einer Zeile durch die Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.

(3) Richtig ist somit allein Antwort 2:

Code A und Code B sind mehr als äquivalent, nämlich identisch.
Code C und D unterscheiden sich zum Beispiel auch durch die minimale Hamming–Distanz $d_{\rm min} = 3$ bzw. $d_{\rm min} = 2$ und sind somit auch nicht äquivalent.
Code B und Code C zeigen dagegen gleiche Eigenschaften, beispielsweise gilt für beide $d_{\rm min} = 3$. Sie beinhalten aber andere Codeworte.

(4) Richtig ist Antwort 3:

Die letzte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
Die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
Die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die dritte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$, usw.

(5) Alle Aussagen treffen zu:

Die Bedingung ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$ gilt für alle linearen Codes.

	Code $\rm A$,
	Code $\rm B$,
	Code $\rm C$,
	Code $\rm D$.

	Code $\rm A$,
	Code $\rm B$,
	Code $\rm C$,
	Code $\rm D$.

	Code $\rm A$ und Code $\rm B$,
	Code $\rm B$ und Code $\rm C$,
	Code $\rm C$ und Code $\rm D$.

	Durch verschiedene Linearkombinationen verschiedener Zeilen.
	Durch zyklische Vertauschung der Zeilen um $1$ nach unten.
	Durch zyklische Vertauschung der Spalten um $1$ nach rechts.