Diskrete Fouriertransformation und Inverse

!!! Diese App wird gerade entwickelt. Entwicklungsstufe 0. Hat mit dem angekündigten Thema noch nichts zu tun!!!

Inhaltsverzeichnis

1 Programmbeschreibung
2 Theoretischer Hintergrund
3 Versuchsdurchführung
4 Zur Handhabung des Applets
5 Über die Autoren
6 Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Programmbeschreibung

Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften zweidimensionaler Gaußscher Zufallsgrößen $XY\hspace{-0.1cm}$, gekennzeichnet durch die Standardabweichungen (Streuungen) $\sigma_X$ und $\sigma_Y$ ihrer beiden Komponenten sowie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$ zwischen diesen. Die Komponenten werden als mittelwertfrei vorausgesetzt: $m_X = m_Y = 0$.

Das Applet zeigt

die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ⇒ $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$ $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$ in dreidimensionaler Darstellung sowie in Form von Höhenlinien,
die zugehörige Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion ⇒ $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$ $f_{X}(x)$ der Zufallsgröße $X$ als blaue Kurve; ebenso $f_{Y}(y)$ für die zweite Zufallsgröße,
die zweidimensionale Verteilungsfunktion ⇒ $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$ $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$ als 3D-Plot,
die Verteilungsfunktion ⇒ $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$ $F_{X}(x)$ der Zufallsgröße $X$; ebenso $F_{Y}(y)$ als rote Kurve.

Das Applet verwendet das Framework Plot.ly

Theoretischer Hintergrund

Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion ⇒ 2D–WDF

Wir betrachten zwei wertkontinuierliche Zufallsgrößen $X$ und $Y\hspace{-0.1cm}$, zwischen denen statistische Abhängigkeiten bestehen können. Zur Beschreibung der Wechselbeziehungen zwischen diesen Größen ist es zweckmäßig, die beiden Komponenten zu einer zweidimensionalen Zufallsgröße $XY =(X, Y)$ zusammenzufassen. Dann gilt:

$\text{Definition:}$ Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF, englisch: Probability Density Function, kurz: PDF) der zweidimensionalen Zufallsgröße $XY$ an der Stelle $(x, y)$:

$$f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y) = \lim_{\left.{\Delta x\rightarrow 0 \atop {\Delta y\rightarrow 0} }\right.}\frac{ {\rm Pr}\big [ (x - {\rm \Delta} x/{\rm 2} \le X \le x + {\rm \Delta} x/{\rm 2}) \cap (y - {\rm \Delta} y/{\rm 2} \le Y \le y +{\rm \Delta}y/{\rm 2}) \big] }{ {\rm \Delta} \ x\cdot{\rm \Delta} y}.$$

Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$ ist eine Erweiterung der eindimensionalen WDF.
$∩$ kennzeichnet die logische UND-Verknüpfung.
$X$ und $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und $x \in X$ sowie $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.
Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im Theorieteil.

Anhand dieser 2D–WDF $f_{XY}(x, y)$ werden auch statistische Abhängigkeiten innerhalb der zweidimensionalen Zufallsgröße $XY$ vollständig erfasst im Gegensatz zu den beiden eindimensionalen Dichtefunktionen ⇒ Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen:

$$f_{X}(x) = \int _{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}y ,$$

$$f_{Y}(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x .$$

Diese beiden Randdichtefunktionen $f_X(x)$ und $f_Y(y)$

liefern lediglich statistische Aussagen über die Einzelkomponenten $X$ bzw. $Y$,
nicht jedoch über die Bindungen zwischen diesen.

Als quantitatives Maß für die linearen statistischen Bindungen ⇒ Korrelation verwendet man

die Kovarianz $\mu_{XY}$, die bei mittelwertfreien Komponenten gleich dem gemeinsamen linearen Moment erster Ordnung ist:

$$\mu_{XY} = {\rm E}\big[X \cdot Y\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} X \cdot Y \cdot f_{XY}(x,y) \,{\rm d}x \, {\rm d}y ,$$

den Korrelationskoeffizienten nach Normierung auf die beiden Effektivwerte $σ_X$ und $σ_Y$ der beiden Komponenten:

$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} }{\sigma_X \cdot \sigma_Y}.$$

$\text{Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten:}$

Aufgrund der Normierung gilt stets $-1 \le ρ_{XY} ≤ +1$.
Sind die beiden Zufallsgrößen $X$ und $Y$ unkorreliert, so ist $ρ_{XY} = 0$.
Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen $X$ und $Y$ ist $ρ_{XY}= ±1$ ⇒ vollständige Korrelation.
Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem $X$–Wert im statistischen Mittel auch $Y$ größer ist als bei kleinerem $X$.
Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass $Y$ mit steigendem $X$ im Mittel kleiner wird.

2D–WDF bei Gaußschen Zufallsgrößen

Für den Sonderfall Gaußscher Zufallsgrößen – der Name geht auf den Wissenschaftler Carl Friedrich Gauß zurück – können wir weiterhin vermerken:

Die Verbund–WDF einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße $XY$ mit Mittelwerten $m_X = 0$ und $m_Y = 0$ sowie dem Korrelationskoeffizienten $ρ = ρ_{XY}$ lautet:

$$f_{XY}(x,y)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \cdot \sqrt{\rm 1-\rho^2}}\ \cdot\ \exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot (1-\it\rho^{\rm 2} {\rm)}}\cdot(\frac {\it x^{\rm 2}}{\sigma_X^{\rm 2}}+\frac {\it y^{\rm 2}}{\sigma_Y^{\rm 2}}-\rm 2\it\rho\cdot\frac{x \cdot y}{\sigma_x \cdot \sigma_Y}\rm ) \rm \Bigg]\hspace{0.8cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}-1 \le \rho \le +1.$$

Ersetzt man $x$ durch $(x - m_X)$ sowie $y$ durch $(y- m_Y)$, so ergibt sich die allgemeinere WDF einer zweidimensionalen Gaußschen Zufallsgröße mit Mittelwert.
Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $f_{X}(x)$ und $f_{Y}(y)$ einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße sind ebenfalls gaußförmig mit den Streuungen $σ_X$ bzw. $σ_Y$.
Bei unkorrelierten Komponenten $X$ und $Y$ muss in obiger Gleichung $ρ = 0$ eingesetzt werden, und man erhält dann das Ergebnis:

$$f_{XY}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{X}} \cdot\rm e^{-\it {x^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\hspace{0.05cm}\it\sigma_{X}^{\rm 2}} {\rm )}} \cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{\it Y}}\cdot e^{-\it {y^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\hspace{0.05cm}\it\sigma_{Y}^{\rm 2}} {\rm )}} = \it f_{X} \rm ( \it x \rm ) \cdot \it f_{Y} \rm ( \it y \rm ) .$$

$\text{Fazit:}$ Im Sonderfall einer 2D-Zufallsgröße mit Gaußscher WDF $f_{XY}(x, y)$ folgt aus der Unkorreliertheit auch direkt die statistische Unabhängigkeit:

$$f_{XY}(x,y)= f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y) . $$

Bitte beachten Sie:

Bei keiner anderen WDF kann aus der Unkorreliertheit auf die statistische Unabhängigkeit geschlossen werden.
Man kann aber stets ⇒ für jede beliebige 2D–WDF $f_{XY}(x, y)$ von der statistischen Unabhängigkeit auf die Unkorreliertheit schließen, weil:
Sind zwei Zufallsgrößen $X$ und $Y$ völlig voneinander (statistisch) unabhängig, so gibt es zwischen ihnen natürlich auch keine linearen Abhängigkeiten
⇒ sie sind dann auch unkorreliert ⇒ $ρ = 0$.

Höhenlinien bei unkorrelierten Zufallsgrößen

Höhenlinien der 2D-WDF bei unkorrelierten Größen

Aus der Bedingungsgleichung $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$ können die Höhenlinien der WDF berechnet werden.

Sind die Komponenten $X$ und $Y$ unkorreliert $(ρ_{XY} = 0)$, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:

$$\frac{x^{\rm 2}}{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2}}{\sigma_{Y}^{\rm 2}} =\rm const.$$

Die Höhenlinien beschreiben in diesem Fall folgende Figuren:

Kreise (falls $σ_X = σ_Y$, grüne Kurve), oder
Ellipsen (für $σ_X ≠ σ_Y$, blaue Kurve) in Ausrichtung der beiden Achsen.

Korrelationsgerade

Als Korrelationsgerade bezeichnet man die Gerade $y = K(x)$ in der $(x, y)$–Ebene durch den „Mittelpunkt” $(m_X, m_Y)$. Diese besitzt folgende Eigenschaften:

Gaußsche 2D-WDF (Approximation mit $N$ Messpunkten) und
Korrelationsgerade $y = K(x)$

Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in $y$–Richtung betrachtet und über alle $N$ Messpunkte gemittelt – ist minimal:

$$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$

Die Korrelationsgerade kann als eine Art „statistische Symmetrieachse“ interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet im allgemeinen Fall:

$$y=K(x)=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\cdot\rho_{XY}\cdot(x - m_X)+m_Y.$$

Der Winkel, den die Korrelationsgerade zur $x$–Achse einnimmt, beträgt:

$$\theta={\rm arctan}(\frac{\sigma_{Y} }{\sigma_{X} }\cdot \rho_{XY}).$$

Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen

Bei korrelierten Komponenten $(ρ_{XY} ≠ 0)$ sind die Höhenlinien der WDF (fast) immer elliptisch, also auch für den Sonderfall $σ_X = σ_Y$.

Ausnahme: $ρ_{XY}=\pm 1$ ⇒ Diracwand; siehe Aufgabe 4.4 im Buch „Stochastische Signaltheorie”, Teilaufgabe (5).

Höhenlinien der 2D-WDF bei korrelierten Größen

Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF-Höhenlinien:

$$f_{XY}(x, y) = {\rm const.} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \frac{x^{\rm 2} }{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2} }{\sigma_{Y}^{\rm 2} }-{\rm 2}\cdot\rho_{XY}\cdot\frac{x\cdot y}{\sigma_X\cdot \sigma_Y}={\rm const.}$$

Die Grafik zeigt in hellerem Blau für zwei unterschiedliche Parametersätze je eine Höhenlinie.

Die Ellipsenhauptachse ist dunkelblau gestrichelt.
Die Korrelationsgerade $K(x)$ ist durchgehend rot eingezeichnet.

Anhand dieser Darstellung sind folgende Aussagen möglich:

Die Ellipsenform hängt außer vom Korrelationskoeffizienten $ρ_{XY}$ auch vom Verhältnis der beiden Streuungen $σ_X$ und $σ_Y$ ab.
Der Neigungswinkel $α$ der Ellipsenhauptachse (gestrichelte Gerade) gegenüber der $x$–Achse hängt ebenfalls von $σ_X$, $σ_Y$ und $ρ_{XY}$ ab:

$$\alpha = {1}/{2} \cdot {\rm arctan } \big ( 2 \cdot \rho_{XY} \cdot \frac {\sigma_X \cdot \sigma_Y}{\sigma_X^2 - \sigma_Y^2} \big ).$$

Die (rote) Korrelationsgerade $y = K(x)$ einer Gaußschen 2D–Zufallsgröße liegt stets unterhalb der (blau gestrichelten) Ellipsenhauptachse.
$K(x)$ kann aus dem Schnittpunkt der Höhenlinien und ihrer vertikalen Tangenten geometrisch konstruiert werden, wie in der Skizze in grüner Farbe angedeutet.

Zweidimensionale Verteilungsfunktion ⇒ 2D–VTF

$\text{Definition:}$ Die 2D-Verteilungsfunktion ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der eindimensionalen Verteilungsfunktion (VTF):

$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$

Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der „1D-VTF” und der„ 2D-VTF”:

Der Funktionalzusammenhang zwischen „2D–WDF” und „2D–VTF” ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:

$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta .$$

Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach $x$ und $y$ angeben:

$$f_{XY}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{XY}(\xi,\eta)}{{\rm d} \xi \,\, {\rm d} \eta}\Bigg|_{\left.{x=\xi \atop {y=\eta}}\right.}.$$

Bezüglich der Verteilungsfunktion $F_{XY}(x, y)$ gelten folgende Grenzwerte:

$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm} F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$

Im Grenzfall $($unendlich große $x$ und $y)$ ergibt sich demnach für die „2D-VTF” der Wert $1$. Daraus erhält man die Normierungsbedingung für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$

$\text{Fazit:}$ Beachten Sie den signifikanten Unterschied zwischen eindimensionalen und zweidimensionalen Zufallsgrößen:

Bei eindimensionalen Zufallsgrößen ergibt die Fläche unter der WDF stets den Wert $1$.
Bei zweidimensionalen Zufallsgrößen ist das WDF-Volumen immer gleich $1$.

Versuchsdurchführung

Wählen Sie zunächst die Nummer (1, ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
Bei der Aufgabenbeschreibung verwenden wir $\rho$ anstelle von $\rho_{XY}$.
Für die „1D-WDF” gilt: $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.

Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:

Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
Ausgabe eines „Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

(1) Neue Einstellung: $\text{DFT von Signal (a): Gleichsignal}$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. Wie lautet das Analogon der herkömmlichen FT?

Im Zeitbereich sind alle $d(\nu) =1$. Dann sind alle $D(\mu) =0$ mit Ausnahme von ${\rm Re}\big [D(0)] =1$.
Dies entspricht bei der herkömmlichen (zeitkontinuierlichen) Fouriertransformation: $x(t) = A\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = A \cdot \delta(f=0)$ mit $A=1$.

(2) Gehen Sie vom erhaltenen $D(\mu)$–Feld aus und verschieben Sie alle Koeffizienten um eine Stelle nach unten. Welche Zeitfunktion liefert die $\rm IDFT$?

Nun sind alle $D(\mu) =0$ mit Ausnahme von ${\rm Re}\big [D(1)] =1$. Das Zeitbereichsergebnis ist eine komplexe Exonentialfunktion.
Der Realteil des $d(\nu)$–Feldes zeigt einen Cosinus und der Imaginärteil eine Sinusfunktion. Bei beiden Funktionen erkennt man jeweils eine Periode.

(3) Ergänzen Sie das aktuelle $D(\mu)$–Feld um den Koeffizienten ${\rm Im}\big [D(1)] =1$. Welche Unterschiede erkennt man gegenüber (2) im Zeitbereich?

Zum einen erkennt man nun bei Realteil und Imaginärteil eine Phasenverschiebung um zwei Stützwerte. Dies entspricht der Phase $\varphi = 45^\circ$.
Zudem wurden die Amplituden von Real– und Imaginärteil jeweils um den Faktor $\sqrt{2}$ vergrößert.

(4) Setzen Sie das $D(\mu)$–Feld auf Null mit Ausnahme von ${\rm Re}\big [D(1)] =1$. Durch welchen zusätzlichen $D(\mu)$–Koeffizienten erhält man ein reelles $d(\nu)$–Feld?

Durch Probieren oder Nachdenken erkennt man, dass auch ${\rm Re}\big [D(15)] =1$ gesetzt werden muss. Dann beschreibt das $d(\nu)$–Feld einen Cosinus.
Für die herkömmliche (zeitkontinuierliche) Fouriertransformation gilt: $x(t) = 2 \cdot \cos(2\pi \cdot f_0 \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = \delta(f -f_0)+\delta(f +f_0)$.
Das Feld $D(1)$ steht für die Frequenz $f_0$ und aufgrund der Periodizät mit $N=16$ wird die Frequenz $-f_0$ durch $D(15) = D(-1)$ ausgedrückt.

(5) Mit welchem $D(\mu)$–Feld erhält man nach der $\rm IDFT$ im $d(\nu)$–Feld eine reelle Cosinusfunktion mit der Amplitude $A=1$?

Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenso wie die herkömmliche Fouriertransformation linear ⇒ $D(1) = D(15)=0.5$.

(6) Neue Einstellung: $\text{DFT von Signal (e): Cosinussignal}$ und anschließende Signalverschiebungen. Was bewirken diese Verschiebungen im Frequenzbereich?

Eine Verschiebung im Zeitbereich verändert das Cosinussignal zu einer „Harmonischen Schwingung” mit beliebiger Phase.
Das $D(\mu)$–Feld ist weiterhin Null bis auf $D(1)$ und $D(15)$. Die Beträge $|D(1)|$ und $|D(15)|$ bleiben ebenfalls gleich.
Die alleinige Veränderung betrifft die Phase, also die unterschiedliche Aufteilung der Beträge auf Real– und Imaginärteil.

(7) Neue Einstellung: $\text{DFT von Signal (f): Sinussignal}$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. Wie lautet das Analogon der herkömmlichen FT?

Das Sinussignal ergibt sich aus dem Cosinussignal durch vier Zeitverschiebungen. Deshalb gelten alle Aussagen von (6) weiterhin.
Für die herkömmliche (zeitkontinuierliche) Fouriertransformation gilt: $x(t) = \sin(2\pi \cdot f_0 \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = {\rm j}/2 \cdot \big [\delta(f +f_0)-\delta(f -f_0)\big ]$.
Der Koeffizient $D(1)$ ⇒ $($Frequenz: $+f_0)$ ist imaginär und hat den Imaginärteil $-0.5$. Entsprechend gilt ${\rm Im}\big [D(15)] =+0.5$ ⇒ $($Frequenz: $-f_0)$.

(8) Neue Einstellung: $\text{DFT von Signal (g): Cosinussignal (zwei Perioden)}$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Vergleich zur Aufgabe (5).

Hier lautet die zeitkontinuierliche Fouriertransformation: $x(t) = \cos(2\pi \cdot (2f_0) \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = 0.5 \cdot \delta(f -2 f_0)+0.5 \cdot \delta(f +2f_0)$.
Für die Frequenz $2f_0$ steht das Feld $D(2)$ und für die Frequenz $-2f_0$ aufgrund der Periodizät das Feld $D(14) = D(-2)$ : $D(2) = D(14) = 0.5$.

(9) Untersuchen Sie nun den Fall $\text{DFT von Sinussignal (zwei Perioden)}$. Welche Einstellung müssen Sie vornehmen? Interpretieren Sie das Ergebnis.

Zum gewünschten Signal kommt man von $\text{DFT von Signal (g): Cosinussignal (zwei Perioden)}$ mit zwei Verschiebungen. Bei (7): Vier Verschiebungen.
Das DFT–Ergebnis lautet dementsprechend: ${\rm Im}\big [D(2)] =-0.5$ und ${\rm Im}\big [D(14)] =+0.5$.

(10) Neue Einstellung: $\text{DFT von (h) Alternierende Zeitkoeffizienten}$. Interpretieren Sie das DFT–Ergebnis.

Hier lautet die zeitkontinuierliche Fouriertransformation: $x(t) = \cos(2\pi \cdot (8f_0) \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = 0.5 \cdot \delta(f -8 f_0)+0.5 \cdot \delta(f +8f_0)$.
$8f_0$ ist die höchste mit $N=16$ in der DFT darstellbare Frequenz. Pro Periodendauer gibt es nur zwei Abtastwerte, nämlich $+1$ und $-1$.
Unterschied zur Teilaufgabe (5): Aus $D(1) =0.5$ wird nun $D(8) =0.5$. Ebenso verschiebt sich $D(15) =0.5$ auf $D(8) =0.5$. Endergebnis: $D(8) =1$.

(11) Welche Unterschiede erhält man mit den beiden Einstellungen $\text{IDFT von Spektrum (C)}$ sowie $\text{DFT von Signal (c)}$ ?

Im ersten Fall ⇒ ${\rm Re}\big [D(\mu=1)] = 1$ ergibt sich im Zeitbereich die komplexe Exponentialfunktion ⇒ $x(t) = {\rm e}^{+{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f_0 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t}$ mit positivem Vorzeichen.
Im zweiten Fall ⇒ ${\rm Re}\big [d(\nu=1)] = 1$ ergibt sich im Frequenzbereich die komplexe Exponentialfunktion ⇒ $X(f) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f/f_0}$ mit negativem Vorzeichen.
Für ${\rm Re}\big [d(\nu=15)] = 1$ würde sich im Frequenzbereich die komplexe Exponentialfunktion ⇒ $X(f) = {\rm e}^{+{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f/f_0}$ mit positivem Vorzeichen ergeben.

(12) Neue Einstellung: $\text{DFT von Signal (k) Dreieckimpuls}$. Interpretieren Sie die $d(\nu)$–Belegung und das DFT–Ergebnis.

Wählen Sie die Betragsdarstellung. $x(t)$ ist symmetrisch um $t=0$ und erstreckt sich von $-T/2$ bis $+T/2$. Es gilt $T_{\rm A} = T/16$. $d(\nu)$–Belegung:
$d(0)=x(0)= 1$, $d(1)=x(T_{\rm A})= 0.875$, ... , $d(8)=x(8T_{\rm A})= 0$, $d(9)=x(-7T_{\rm A})= 0.125$, ..., $d(15)=x(-T_{\rm A})= 0.875$.
Im Frequenzbereich: Erst Gleichanteil ⇒ $D(0)$, dann positive Frequenzen ⇒ $D(1) ,\text{ ... },D(8)$, dann negative Frequenzen (gespiegelt) ⇒ $D(9), \text{ ... },D(15)$.

Zur Handhabung des Applets

(A) Parametereingabe per Slider: $\sigma_X$, $\sigma_Y$ und $\rho$

(B) Auswahl: Darstellung von WDF oder VTF

(C) Reset: Einstellung wie beim Programmstart

(D) Höhenlinien darstellen anstelle von „1D-WDF”

(E) Darstellungsbereich für „2D-WDF”

(F) Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)

(G) Darstellungsbereich für „1D-WDF” bzw. „Höhenlinien”

(H) Manipulation der 2D-Grafik („1D-WDF”)

( I ) Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl

(J) Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung

(K) Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung einblenden

( L) Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung

Werte–Ausgabe über Maussteuerung (sowohl bei 2D als auch bei 3D)

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

Die erste Version wurde 2003 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
2019 wurde das Programm von Carolin Mirschina im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: Tasnád Kernetzky).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch Studienzuschüsse der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Applet in neuem Tab öffnen