Aufgabe 1.3: Fiktive Uni Irgendwo

Fiktive Universität Irgendwo

Aus nebenstehender Grafik können Sie einige Informationen über die $\rm FUI$ (Fiktive Universität Irgendwo) ablesen. Das gesamte Quadrat steht für die Grundmenge $G$ der $960$ Studierenden. Von diesen sind

$25\%$ weiblich (Menge $W$, violettes Rechteck),
$75\%$ männlich (Menge $M$, gelbes Rechteck).

An der Universität gibt es die Fakultäten für

Theologie (Menge $T$, schwarzes Dreieck),
Informationstechnik (Menge $I$, blaues Dreieck),
Betriebswirtschaft (Menge $B$, grünes Viereck).

Jeder Studierende muss mindestens einer dieser Fakultäten zugeordnet sein, kann jedoch auch gleichzeitig zwei oder drei Fakultäten angehören.

Die Flächen in der obigen Darstellung sind maßstäblich, so dass Sie anhand der angegebenen Zahlenwerte und einfachen geometrischen Überlegungen die (prozentualen) Belegungszahlen leicht angeben können.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Mengentheoretische Grundlagen.

Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten.

Fragebogen

$N_{\rm T} \ = \ $

	$I$ ist eine Teilmenge von $M$.
	$W$ ist eine Teilmenge von $B$.
	$W$ und $M$ ergeben zusammen ein vollständiges System.
	$B$, $I$ und $T$ ergeben zusammen ein vollständiges System.
	$W$ und $T$ sind disjunkte Mengen.
	Die Vereinigungsmenge von $B$, $I$ und $T$ ergibt die Grundmenge $G$.
	Die Schnittmenge von $B$, $I$ und $T$ ergibt die leere Menge $\phi$.

$\text{Pr}\big[\text{IT-Studentin}\big] \ = \ $

$\ \%$

$\text{Pr}\big[\text{ein Studienfach}\big] \ = \ $

$\ \%$

$\text{Pr}\big[\text{drei Studienfächer}\big] \ = \ $

$\ \%$

$\text{Pr}\big[\text{zwei Studienfächer}\big] \ = \ $

$\ \%$

Musterlösung

(1) Aus einfachen geometrischen Überlegungen kommt man zu den Ergebnissen:

$${\rm Pr}(B) = 3/4 \cdot 1 = 3/4\hspace{0.3cm}(\text{absolut:}\ 720),$$

$${\rm Pr}(I) = {1}/{2}\cdot 1\cdot 1 = 1/2\hspace{0.3cm}(\text{absolut:} \ 480),$$

$${\rm Pr}(T) = {1}/{2} \cdot {3}/{4} \cdot {3}/{4} = {9}/{32} \hspace{0.3cm}(\text{absolut:}\ 270)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}N_{\rm T} \;\underline{= 270}.$$

(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3, 5 und 6 ⇒ die Lösungsvorschläge 1, 4, 7 sind demzufolge falsch:

Es gibt auch IT-Studentinnen, wenn auch nur sehr wenige.
Die Vereinigung von $B$, $I$ und $T$ ergibt die Grundmenge, aber kein vollständiges System (nicht alle Kombinationen von $B$, $I$ und $T$ sind zueinander disjunkt).
Aus dem gleichen Grund ergibt auch die Schnittmenge von $B$, $I$ und $T$ nicht die leere Menge.

Geometrische Lösung eines Wahrscheinlichkeitsproblems

(3) Eine IT-Studentin ist mengentheoretisch die Schnittmenge aus $I$ und $W$
(in der Grafik links oben dargestellt als schraffierte Fläche):

$$\text{Pr[IT-Studentin] = Pr}(I \cap W) = {1}/{2}\cdot {1}/{4} \cdot {1}/{4} = {1}/{32} \hspace{0.15cm}\underline { \thickapprox 3.13 \%}.$$

In Worten: Unter den $960$ Studierenden gibt es $30$ IT–Studentinnen.

(4) Die Wahrscheinlichkeit ist als Summe dreier Einzelwahrscheinlichkeiten berechenbar:

$$ \text{Pr[ein Studienfach] = Pr}( \overline{B} \cap \overline{I} \cap T) + {\rm Pr}( \overline{B} \cap I \cap \overline{T}) + {\rm Pr}( \it B \cap \overline{I} \cap \overline{T}).$$

Jede einzelne Wahrscheinlichkeit entspricht einer Fläche im Venndiagramm und kann durch Addition bzw. Subraktion von Dreiecken oder Rechtecken bestimmt werden (siehe Grafik):

$$p_1 = {\rm Pr}( \overline{B} \cap \overline{I} \cap T) = {\rm Dreieck\ (ABC)}= \frac{1}{2}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}\frac{1}{4}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}\frac{1}{4}= \frac{1}{32}\hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.0313},$$

$$p_2 ={\rm Pr}( \overline{B} \cap I \cap \overline{T}) = {\rm Viereck\hspace{0.1cm}(DEFG)}= \frac{1}{4}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm} \frac{1}{4}\hspace{0.02cm}+ \hspace{0.02cm}\frac{1}{2}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm} \frac{1}{4}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm} \frac{1}{4} = \frac{3}{32}\hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.0938},$$

$$p_3 = {\rm Pr}( B \cap \overline{I} \cap \overline{T}) ={\rm Viereck\hspace{0.1cm}(HIJK)}= {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(HLK)}- {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(ILJ)} = \frac{1}{2}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} \frac{5}{4}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} \frac{5}{8}\hspace{0.02cm} - \hspace{0.02cm}\frac{1}{2}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{23}{64}\hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.3594}.$$

$\text{Oder:}\hspace{0.3cm}$

$$p_3 = {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(HIC)}- {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(KJC)} ={1}/{2}\hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} 1 \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} 1 \hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}{1}/{2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} {3}/{4} \cdot {3}/{8} = {23}/{64}.$$

Die Summe dieser drei Wahrscheinlichkeiten führt zum Endergebnis $ \text{Pr[ein Studienfach] } = 31/64 \;\underline {\approx 48.43 \%}$.

(5) Diese Wahrscheinlichkeit wird durch das $\text{Dreieck (AGK)}$ ausgedrückt. Dieses hat die Fläche

$$\rm Pr[drei\hspace{0.1cm}Studienf\ddot{a}cher] = {1}/{2}\cdot {1}/{4}\cdot {1}/{8} = {1}/{64}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.56 \%}.$$

(6) Die drei Ereignisse

„nur ein Studienfach”,
„zwei Studienfächer” und
„drei Studienfächer”

bilden ein vollständiges System. Damit erhält man mit den Ergebnissen der letzten Teilaufgaben:

$$\rm Pr[zwei\hspace{0.1cm}Studienf\ddot{a}cher] = 1- \text{Pr[ein Studienfach] } - \rm Pr[drei\hspace{0.1cm}Studienf\ddot{a}cher]= 1- {31}/{64} - {1}/{64} \hspace{0.15cm}\underline{= 50\%}.$$

Zum genau gleichen Ergebnis – aber mit deutlich mehr Aufwand – käme man auf dem direkten Weg entsprechend:

$${\rm Pr[zwei\hspace{0.1cm}Studienf\ddot{a}cher] = Pr}(B\cap I \cap\overline{T}) + {\rm Pr}(B\cap\overline{I}\cap{T}) + {\rm Pr}(\overline{B}\cap I \cap T).$$