Aufgabe 2.1Z: Signalverläufe

Wertdiskret oder wertkontinuierlich?

Rechts sind fünf Signalverläufe dargestellt. Die ersten drei Signale $\rm (A)$, $\rm (B)$ und $\rm (C)$ sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter.

Der Momentanwert dieser Signale $x(t)$ wird jeweils als eine Zufallsgröße aufgefasst. Im Einzelnen sind dargestellt:

$\rm (A)$: ein dreieckförmiges periodisches Signal,

$\rm (B)$: das Signal $\rm (A)$ nach Einweggleichrichtung,

$\rm (C)$: ein rechteckförmiges periodisches Signal,

$\rm (D)$: ein rechteckförmiges Zufallssignal,

$\rm (E)$: das Zufallssignal $\rm (D)$ nach AMI-Codierung;
hierbei bleibt die „Null” erhalten, während eine jede „Eins” alternierend mit $+2\hspace{0.03cm}\rm V$ und $-2\hspace{0.03cm} \rm V$ codiert wird.

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 3, 4 und 5:

Die Zufallsgrößen $\rm (C)$ und $\rm (D)$ sind binär $(M= 2)$,
während die Zufallsgröße $\rm (E)$ dreiwertig ist $(M= 3)$.

(2) Richtig ist allein der Lösungsvorschlag 1:

Die Zufallsgröße $\rm (A)$ ist wertkontinuierlich und kann alle Werte zwischen $\pm 2 \hspace{0.03cm} \rm V$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.
Alle anderen Zufallsgrößen sind wertdiskret.

(3) Richtig ist allein der Lösungsvorschlag 2:

Nur die Zufallsgröße $\rm (B)$ hat einen diskreten Anteil bei $0\hspace{0.03cm}\rm V$ und
außerdem noch eine kontinuierliche Komponente (zwischen $0\hspace{0.03cm} \rm V$ und $+2\hspace{0.03cm}\rm V)$.

(4) Nach dem Bernoullischen Gesetz der großen Zahlen gilt:

$$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$

Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit $h_0$ von der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.5$ betragsmäßig um mehr als $0.01$ abweicht, mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar:

$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\rm Min}\big[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)\big] \hspace{0.15cm}\underline{= 0.975}.$$

(5) Mit $p_{\rm Bernoulli} = 1 - 0.99 = 0.01$ und $\varepsilon = 0.001$ gilt wiederum nach dem Gesetz der großen Zahlen:

$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$

Aufgelöst nach $N$ erhält man:

$$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\it N}_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.5\cdot 10^9}.$$

	Signal $\rm (A)$,
	Signal $\rm (B)$,
	Signal $\rm (C)$,
	Signal $\rm (D)$,
	Signal $\rm (E)$.

	Signal $\rm (A)$,
	Signal $\rm (B)$,
	Signal $\rm (C)$,
	Signal $\rm (D)$,
	Signal $\rm (E)$.

	Signal $\rm (A)$,
	Signal $\rm (B)$,
	Signal $\rm (C)$,
	Signal $\rm (D)$,
	Signal $\rm (E)$.