Aufgabe 2.1Z: 2D-Frequenz- und 2D-Zeitdarstellung
Zur Beschreibung eines zeitvarianten Kanals mit mehreren Pfaden verwendet man die zweidimensionale Impulsantwort
- $$h(\tau,\hspace{0.1cm}t) = \sum_{m = 1}^{M} z_m(t) \cdot {\rm \delta} (\tau - \tau_m)\hspace{0.05cm}.$$
Der erste Parameter $(\tau)$ kennzeichnet die Verzögerungszeit, der zweite $(t)$ macht Aussagen über die Zeitvarianz.
Durch die Fouriertransformation von $h(\tau,\ t)$ kommt man schließlich zur zeitvarianten Übertragungsfunktion
- $$H(f,\hspace{0.1cm} t) \hspace{0.2cm} \stackrel {f,\hspace{0.05cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} h(\tau,\hspace{0.1cm}t) \hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt $H(f,\ t)$ abhängig vont der Frequenz für verschiedene Werte der absoluten Zeit $t$ im Bereich von $0 \ \text{...} \ 10 \ \rm ms$.
Im Allgemeinen ist $H(f,\ t)$ komplex. Der Realteil (oben) und der Imaginärteil (unten) sind separat gezeichnet.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme.
- In obiger Gleichung wird ein echofreier Kanal mit dem Paramter $M = 1$ dargestellt.
- Hier noch einige Zahlenwerte der vorgegebenen zeitvarianten Übertragungsfunktion:
- $$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0\, {\rm ms}) \approx 0.3 - {\rm j} \cdot 0.4 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} H(f,\hspace{0.05cm} t = 2\, {\rm ms}) \approx 0.0 - {\rm j} \cdot 1.3 \hspace{0.05cm},$$
- $$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 4\, {\rm ms}) \approx 0.1 - {\rm j} \cdot 1.5 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} H(f,\hspace{0.05cm} t = 6\, {\rm ms}) \approx 0.5 - {\rm j} \cdot 0.8 \hspace{0.05cm},$$
- $$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 8\, {\rm ms}) \approx 0.9 - {\rm j} \cdot 0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} H(f,\hspace{0.05cm} t = 10\, {\rm ms}) \approx 1.4 \hspace{0.05cm}.$$
- Wie schon aus obiger Grafik zu erahnen ist, sind weder der Realteil noch der Imaginärteil der 2D–Übertragungsfunktion $H(f,\ t)$ mittelwertfrei.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Betrachtet man einen festen Zeitpunkt, zum Beispiel $t = 2 \ \rm ms$, so erhält man für die zeitvariante Übertragungsfunktion
- $$H(f,\hspace{0.1cm} t = 2\, {\rm ms}) = - {\rm j} \cdot 1.3 \hspace{0.05cm} = {\rm const.}$$
- Damit lautet die dazugehörige 2D–Impulsantwort:
- $$h(\tau,\hspace{0.05cm} t = 2\, {\rm ms}) = - {\rm j} \cdot 1.3 \cdot \delta (\tau) \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} M = 1 \hspace{0.05cm}.$$
- Mit einem Pfad kann es aber nicht zu Mehrwegausbreitung kommen. Das heißt, die richtige Lösung ist NEIN.
(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:
- Es liegt hier zwar Zeitvarianz, aber keine Frequenzselektivität vor.
- Die Vorschläge 1 und 2 beschreiben dagegen zeitinvariante Systeme.
(4) Richtig ist der Lösungsvorschlag 4:
- Für den AWGN–Kanal kann keine 2D–Übertragungsfunktion angegeben werden.
- Bei einem Zweiwegekanal ist $H(f,\ t)$ zu keiner Zeit $t$ konstant.
- Da in der $H(f,\ t)$–Grafik in Real– und Imaginärteil jeweils ein Gleichanteil ungleich Null zu erkennen ist, kann auch der Rayleigh–Kanal ausgeschlossen werden.
- Die Daten für die vorliegende Aufgabe stammen nach Ausschlussverfahren von einem Rice–Kanal. Zur Generierung wurden folgende Parameter verwendet:
- $$\sigma = {1}/{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} x_0 = {1}/{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}y_0 = -{1}/{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} f_{\rm D,\hspace{0.05cm} max} = 100\,\,{\rm Hz}\hspace{0.05cm}.$$