Aufgabe 1.4: 2S/3E-Kanalmodell

$\rm 2S/3E$-Kanalmodell

Ein Sender gibt die binären Symbole $\rm L$ $($Ereignis $S_{\rm L})$ und $\rm H$ $($Ereignis $S_{\rm H})$ ab.

Bei guten Bedingungen entscheidet sich der Digitalempfänger ebenfalls nur für die Binärsymbole $\rm L$ $($Ereignis $E_{\rm L})$ oder $\rm H$ $($Ereignis $E_{\rm H})$.
Kann der Empfänger allerdings vermuten, dass bei der Übertragung ein Fehler aufgetreten ist, so trifft er keine Entscheidung $($Ereignis $E_{\rm K})$; $\rm K$ steht hierbei für „Keine Entscheidung”).

Die Grafik zeigt ein einfaches Kanalmodell in Form von Übergangswahrscheinlichkeiten. Es ist zu erkennen, dass ein gesendetes $\rm L$ durchaus als Symbol $\rm H$ empfangen werden kann. Dagegen ist der Übergang von $\rm H$ nach $\rm L$ nicht möglich.

Die Symbolauftrittswahrscheinlichkeiten am Sender seien ${\rm Pr}(S_{\rm L}) = 0.3$ und ${\rm Pr}(S_{\rm H}) = 0.7$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.

Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo

Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.

Fragebogen

${\rm Pr}(E_{\rm L}) \ = \ $

${\rm Pr}(E_{\rm H}) \ = \ $

${\rm Pr}(E_{\rm K}) \ = \ $

$\text{Pr(falsche Entscheidung)} \ = \ $

${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm L} ) \ = \ $

${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm K} ) \ =\ $

Musterlösung

(1) Nur wenn das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, kann sich der Empfänger beim gegebenen Kanal für das Symbol $\rm L$ entscheiden.

Die Wahrscheinlichkeit für ein empfangenes $\rm L$ ist allerdings um den Faktor $0.7$ kleiner als für ein gesendetes. Daraus folgt:

$${\rm Pr} (E_{\rm L}) = {\rm Pr}(S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm L}) = 0.3 \cdot 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.21}.$$

(2) Zum Ereignis $E_{\rm H}$ kommt man sowohl von $S_{\rm H}$ als auch von $S_{\rm L}$ aus. Deshalb gilt:

$${\rm Pr} (E_{\rm H}) = {\rm Pr} (S_{\rm H}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm H}) + {\rm Pr} (S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L})= \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = \rm 0.66}.$$

(3) Die Ereignisse $E_{\rm H}$, $E_{\rm L}$ und $E_{\rm K}$ bilden zusammen ein vollständiges System. Daraus folgt:

$${\rm Pr} (E_{\rm K}) = 1 - {\rm Pr} (E_{\rm L}) - {\rm Pr} (E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$

(4) Eine falsche Entscheidung kann man mengentheoretisch wie folgt charakterisieren:

$${\rm Pr} \text{(falsche Entscheidung)} = {\rm Pr} \big [(S_{\rm L} \cap E_{\rm H}) \cup (S_{\rm H} \cap E_{\rm L})\big ] = \rm 0.3 \cdot 0.1 + 0.7\cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.03}.$$

(5) Wenn das Symbol $\rm L$ empfangen wurde, kann nur $\rm L$ gesendet worden sein. Daraus folgt:

$${\rm Pr} (S_{\rm L} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm L}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 1}.$$

(6) Zur Lösung dieser Aufgabe eignet sich zum Beispiel der Satz von Bayes:

$${\rm Pr} (S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm K}) =\frac{ {\rm Pr} ( E_{\rm K} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (S_{\rm L})}{{\rm Pr} (E_{\rm K})} =\frac{ \rm 0.2 \cdot 0.3}{\rm 0.13} = \frac{\rm 6}{\rm 13}\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.462}.$$