Aufgabe 2.4Z: Fehlerwahrscheinlichkeiten beim Oktalsystem

Oktale „Zufallscodierung” und Graycodierung

Es wird ein Digitalsystem mit $M = 8$ Amplitudenstufen ("Oktalsystem")&nbsp betrachtet,&nbsp dessen $M – 1 = 7$ Entscheiderschwellen genau bei den jeweiligen Intervallmitten liegen.

Ein jeder der gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu}$ mit $1 ≤ \mu ≤ 8$ kann nur in die unmittelbaren Nachbarkoeffizienten $a_{\mu–1}$ bzw. $a_{\mu+1}$ verfälscht werden und zwar in beiden Richtungen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$.

Hierzu einige Beispiele:

$a_5$ geht mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ in den Koeffizienten&nbsp $a_4$&nbsp über und mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ in den Koeffizienten $a_6$.

$a_8$ wird mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ in den Koeffizienten $a_7$ verfälscht.&nbsp In die andere Richtung ist keine Verfälschung möglich.

Die Zuordnung von jeweils drei binären Quellensymbolen in einen oktalen Amplitudenkoeffizienten geschieht alternativ entsprechend

der zweiten Spalte in der angegebenen Tabelle, die „zufällig” – ohne Strategie – generiert wurde,

der Graycodierung, die in Spalte 3 nur unvollständig angegeben ist und noch ergänzt werden soll.

Angegeben ist der Graycode für $M = 4$. Bei $M = 8$ sind die beiden letzten Binärzeichen an der gestrichelt eingezeichneten Linie zu spiegeln. Für die ersten vier Amplitudenkoeffizienten ist an der ersten Stelle ein $\rm L$ zu ergänzen, für $a_{5}, ..., a_{8}$ das Binärsymbol $\rm H$.

Für die beiden Zuordnungen „Zufall” und „Gray” sollen berechnet werden:

die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$, die in beiden Fällen gleich ist; $p_{\rm S}$ gibt die mittlere Verfälschungswahrscheinlichkeit eines Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu}$ an;
die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ bezogen auf die (decodierten) Binärsymbole.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Grundlagen der codierten Übertragung".

Bezug genommen wird auch auf das Kapitel "Redundanzfreie Codierung" .

Fragebogen

$ \rm {LHH}\text{:}\hspace{0.4cm} \mu \ = \ $

$ \rm {HLL}\text{:}\hspace{0.45cm} \mu \ = \ $

$p_{\rm S} \ = \ $

$\ \%$

$p_{\rm B} \ = \ $

$\ \%$

$p_{\rm B} \ = \ $

$\ \%$

Musterlösung

(1) Entsprechend der Beschreibung auf der Angabenseite steht

$\rm LHH$ für den Amplitudenkoeffizienten $a_{3}$ ⇒ $\underline{\mu =3}$.
$\rm HLL$ für für den Amplitudenkoeffizienten $a_{8}$ ⇒ $\underline{\mu =8}$.

(2) Die äußeren Koeffizienten $(a_{1}$ und $a_{8})$ werden jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p = 1 \%$ verfälscht,
die $M – 2 = 6$ inneren mit der doppelten Wahrscheinlichkeit $(2p= 2 \%)$. Durch Mittelung erhält man:

$$p_{\rm S} = \frac{2 \cdot 1 + 6 \cdot 2} { 8} \cdot p\hspace{0.15cm}\underline { = 1.75 \,\%} \hspace{0.05cm}.$$

(3) Jeder Übertragungsfehler (Symbolfehler) hat beim Graycode genau einen Bitfehler zur Folge. Da jedoch jedes Oktalsymbol drei Binärzeichen beinhaltet, gilt

$$p_{\rm B} ={p_{\rm S}}/ { 3}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.583 \,\%} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Von den insgesamt sieben möglichen Übergängen (jeweils in beiden Richtungen) führen zu

einem Fehler: $\rm HLH \ \Leftrightarrow \ LLH$,
zwei Fehlern: $\rm HLL \ \Leftrightarrow \ HHH$, $\rm LLL \ \Leftrightarrow \ LHH$, $\rm HHL \ \Leftrightarrow \ HLH$, $\rm LLH \ \Leftrightarrow \ LHL$,
drei Fehlern: $\rm HHH \ \Leftrightarrow \ LLL$, $\rm LHH \ \Leftrightarrow \ HHL$.

Daraus folgt:

$$p_{\rm B} = \frac{p} { 3} \cdot \frac{1 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 3} { 7} = \frac{15} { 21} \cdot p \hspace{0.15cm}\underline { = 0.714 \,\%} \hspace{0.05cm}.$$