Aufgabe 4.08Z: Fehlerwahrscheinlichkeit bei drei Symbolen

Entscheidungsregionen bei $M = 3$ Symbolen

Die Grafik zeigt die genau gleiche Signalraumkonstellation wie in "Aufgabe 4.8":

die $M = 3$ möglichen Sendesignale, nämlich

$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, \hspace{0.1cm}1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (1, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_2 = (2, \hspace{0.1cm}-1)\hspace{0.05cm}.$$

die $M = 3$ Entscheidungsgrenzen

$$G_{01}\text{:} \hspace{0.4cm} y \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1.5 - 2 \cdot x\hspace{0.05cm},$$

$$G_{02}\text{:} \hspace{0.4cm} y \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} -0.75 +1.5 \cdot x\hspace{0.05cm},$$

$$G_{12}\text{:} \hspace{0.4cm} y \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} x/3\hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Achsen des 2D–Signalraums sind hier vereinfachend mit $x$ und $y$ bezeichnet;
eigentlich müsste hierfür $\varphi_1(t)/\sqrt {E}$ bzw. $\varphi_2(t)/\sqrt {E}$ geschrieben werden.

Diese Entscheidungsgrenzen sind optimal unter den beiden Voraussetzungen:

gleichwahrscheinliche Symbolwahrscheinlichkeiten,

zirkulär–symmetrische WDF des Rauschens (z.B. AWGN).

In dieser Aufgabe betrachten wir dagegen für die Rausch–WDF eine zweidimensionale Gleichverteilung:

$$\boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (x,\hspace{0.15cm} y) = \left\{ \begin{array}{c} K\\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c}{\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm}|x| <A, \hspace{0.15cm} |y| <A \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$

Ein solches amplitudenbegrenztes Rauschen ist zwar ohne jede praktische Bedeutung.

Es ermöglicht jedoch eine Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung ohne umfangreiche Integrale, aus der das Prinzip der Vorgehensweise erkennbar wird.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit".

Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:

$$x = {\varphi_1(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y = {\varphi_2(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

$\boldsymbol{K} \ = \ $

$p_{\rm S} \ = \ $

$\ \%$

	Alle Nachrichten $m_i$ werden in gleicher Weise verfälscht.
	Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr({ \cal E}} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} {\it m}_0) = 1/64$.
	Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr({ \cal E}} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} {\it m}_1) = 0$.
	Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr({ \cal E}} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} {\it m}_2) = 0$.

$p_{\rm S} \ = \ $

$\ \%$

$p_{\rm S} \ = \ $

$\ \%$

	Ja.
	Nein.

Musterlösung

Rauschgebiete mit $A = 0.75$

(1) Das Volumen der 2D–WDF muss $p_n(x, y) =1$ ergeben, das heißt:

$$2A \cdot 2A \cdot K = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K = \frac{1}{4A^2}\hspace{0.05cm}.$$

Mit $A = 0.75$ ⇒ $2A = 3/2$ erhält man $K = 4/9 \ \underline {=0.444}$.

(2) In nebenstehender Grafik ist die Rauschkomponente $\boldsymbol{n}$ durch die Quadrate der Kantenlänge $1.5$ um die 2D–Signalraumpunkte $\boldsymbol{s}_i$ eingezeichnet.

Man erkennt, dass keine Entscheidungsgrenze durch Rauschkomponenten überschritten wird.

Daraus folgt: Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ist unter den hier gegebenen Voraussetzungen $p_{\rm S}\ \underline { \equiv 0}$.

Rauschgebiete mit $A = 1$

(3) Richtig sind die Aussagen 2 und 4, wie aus der unteren Grafik abgelesen werden kann:

Die Nachricht $m_2$ kann nicht verfälscht werden, da das Quadrat um $\boldsymbol{s}_2$ vollständig im rechten unteren Quadranten und damit im Entscheidungsgebiet $I_2$ liegt.

Ebenso wurde mit Sicherheit $m_2$ gesendet, wenn der Empfangswert im Entscheidungsgebiet $I_2$ liegt.
Der Grund: Keines der Quadrate um $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ reicht bis in das Gebiet $I_2$ hinein.

$m_0$ kann nur zu $m_1$ verfälscht werden. Die (bedingte) Verfälschungswahrscheinlichkeit ist gleich dem Verhältnis der Flächen des kleinen gelben Dreiecks $($Fläche $1/16)$ und des Quadrats $($Fläche $4)$:

$${\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) = \frac{1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/4}{4}= {1}/{64} \hspace{0.05cm}.$$

Aus Symmetriegründen gilt gleichermaßen:

$${\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_1 ) = {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 )={1}/{64} \hspace{0.05cm}. $$

(4) Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen erhält man für die (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit:

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {1}/{3} \cdot \big [{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) + {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_1 )+{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_2 )\big ]$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm S} = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {1}/{3} \cdot \left [{1}/{64} + {1}/{64} + 0 )\right ]= \frac{2}{3 \cdot 64} = {1}/{96}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.04 \%} \hspace{0.05cm}.$$

(5) Nun ergibt sich eine kleinere mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit, nämlich

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {1}/{4} \cdot {1}/{64} + {1}/{4} \cdot {1}/{64}+ {1}/{2} \cdot0 = {1}/{128}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.78 \% } \hspace{0.05cm}. $$

(6) Richtig ist JA:

Beispielsweise ergäbe sich durch $I_1$: erster Quadrant, $I_0$: zweiter Quadrant, $I_2 \text{:} \ y < 0$ die Fehlerwahrscheinlichkeit Null.

Das bedeutet, dass die vorgegebenen Grenzen nur bei zirkulär symmetrischer WDF des Rauschens optimal sind, zum Beispiel beim AWGN–Kanal.

	Alle Nachrichten $m_i$ werden in gleicher Weise verfälscht.
	Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr({ \cal E}} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} {\it m}_0) = 1/64$.
	Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr({ \cal E}} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} {\it m}_1) = 0$.
	Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr({ \cal E}} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} {\it m}_2) = 0$.