Aufgabe 1.16Z: Schranken für die Gaußsche Fehlerfunktion

${\rm Q}(x)$ und verwandte Funktionen;
es gilt: ${\rm Q_u}(x)\le{\rm Q}(x)\le{\rm Q_o}(x)$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine mittelwertfreie Gaußsche Zufallsgröße $n$ mit Streuung $\sigma$ ⇒ Varianz $\sigma^2$ betragsmäßig größer ist als ein vorgegebener Wert $A$, ist gleich

$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) ={\rm Q}(A/\sigma) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei verwendet ist eine der wichtigsten Funktionen für die Nachrichtentechnik (in der Grafik rot eingezeichnet):
die "Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion"

$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm}.$$

${\rm Q}(x)$ ist eine monoton fallende Funktion mit ${\rm Q}(0) = 0.5$. Für sehr große Werte von $x$ tendiert ${\rm Q}(x) \to 0$.

Das Integral der ${\rm Q}$–Funktion ist analytisch nicht lösbar und wird meist in Tabellenform angegeben. Aus der Literatur bekannt sind aber handhabbare Näherungen bzw. Schranken für positive $x$–Werte:

die "obere Schranke" $($obere blaue Kurve in nebenstehender Grafik, nur gültig für $x > 0)$:

$$ {\rm Q_o}(x)=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2}\hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm},$$

die "untere Schranke" $($untere blaue Kurve in der Grafik, nur gültig für $x > 1)$:

$$ {\rm Q_u}(x)=\frac{\rm 1-{\rm 1}/{\it x^{\rm 2}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot \rm e^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.15cm} \le \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm},$$

die "Chernoff–Rubin–Schranke $($grüne Kurve in der Grafik, gezeichnet für $K = 1)$:

$${\rm Q_{CR}}(x)=K \cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm}.$$

In der Aufgabe ist zu untersuchen, in wie weit diese Schranken als Näherungen für ${\rm Q}(x)$ herangezogen werden können und welche Verfälschungen sich dadurch ergeben.

Hinweise:

Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel "Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit".

Bezug genommen wird auch auf das Kapitel "Gaußverteilte Zufallsgrößen" im Buch "Stochastische Signaltheorie".

Die Aufgabe bietet auch einige wichtige Hinweise zur Lösung der "Aufgabe 1.16", in der die Funktion ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ zur Herleitung der "Bhattacharyya–Schranke" für den AWGN–Kanal benötigt wird.

Weiter verweisen wir auf das interaktive HTML5/JavaScipt–Applet "Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen".

Fragebogen

${\rm Q_{o}}(x = 4) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-5} $

${\rm Q_{u}}(x = 4) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-5} $

	Für $x ≥ 2$ sind die beiden Schranken brauchbar.
	Für $x < 1$ ist ${\rm Q_{u}}(x)$ unbrauchbar $($wegen ${\rm Q_{u}}(x)< 0)$.
	Für $x < 1$ ist ${\rm Q_{o}}(x)$ unbrauchbar $($wegen ${\rm Q_{o}}(x)> 1)$.

${\rm Q}_{\rm CR}(x = 2)/{\rm Q_{o}}(x = 2 ) \ = \ $

${\rm Q}_{\rm CR}(x = 4)/{\rm Q_{o}}(x = 4 ) \ = \ $

${\rm Q}_{\rm CR}(x = 6)/{\rm Q_{o}}(x = 6 ) \ = \ $

$K \ = \ $

Musterlösung

(1) Die obere Schranke lautet:

$${\rm Q_o}(x)=\frac{1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q_o}(4 )=\frac{1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{-8 }\hspace{0.15cm}\underline{\approx 3.346 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$

Die untere Schranke kann wie folgt umgewandelt werden:

$${\rm Q_u}( x)=(1-1/x^2) \cdot {\rm Q_o}(x) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q_u}(4 ) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 3.137 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$

Die relativen Abweichungen gegenüber dem „echten” Wert ${\rm Q}(4) = 3.167 · 10^{–5}$ sind $+5\%$ bzw. $–1\%$.

(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

Für $x = 2$ wird der tatsächliche Funktionswert ${\rm Q}(x) = 2.275 · 10^{–2}$ begrenzt durch ${\rm Q_{o}}(x) = 2.7 · 10^{–2}$ bzw. ${\rm Q_u}(x) = 2.025 · 10^{–2}$.

Die relativen Abweichungen betragen demzufolge $18.7\%$ bzw. $–11\%.$

Die letzte Aussage ist falsch: Erst für $x < 0.37$ gilt ${\rm Q_o}(x) > 1.$

(3) Für den Quotienten aus ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ und ${\rm Q_o}(x)$ gilt nach den vorgegebenen Gleichungen:

$$q(x) = \frac{{\rm Q_{CR}}(x)}{{\rm Q_{o}}(x)} = \frac{{\rm exp}(-x^2/2)}{{\rm exp}(-x^2/2)/({\sqrt{2\pi} \cdot x})} = {\sqrt{2\pi} \cdot x}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} q(x) \approx 2.5 \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} q(x =2) \hspace{0.15cm}\underline{=5}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q(x =4)\hspace{0.15cm}\underline{=10}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q(x =6) \hspace{0.15cm}\underline{=15}\hspace{0.05cm}.$$

Je größer der Abszissenwert $x$ ist, um so ungenauer wird ${\rm Q}(x)$ durch ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ angenähert.

Bei Betrachtung der Grafik auf der Angabenseite kann man den Eindruck haben, dass ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ sich aus ${\rm Q}(x)$ durch Verschieben nach rechts bzw. nach oben ergibt. Das ist aber nur eine optische Täuschung und entspricht nicht dem Sachverhalt.

(4) Mit $\underline{K = 0.5}$ stimmt die neue Schranke $0.5 · {\rm Q}_{\rm CR}(x)$ für $x = 0$ exakt mit ${\rm Q}(x=0) = 0.500$ überein.

Für größere Abszissenwerte wird damit auch die Verfälschung $q \approx 1.25 · x$ nur halb so groß.