Zusammenstellung wichtiger Beschreibungsgrößen

Für diesen Abschnitt 2.3 werden nichtlineare Verzerrungen ausgeschlossen, so dass das System durch den Frequenzgang $H(f)$ vollständig beschrieben wird:

Beschreibung eines linearen Systems

Der im Allgemeinen komplexe Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden: $$H(f) = |H(f)| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f)} = {\rm e}^{-a(f)}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f)}.$$


Daraus ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:

  • Der Betrag $|H(f)|$ wird als Amplitudengang und in logarithmierter Form als Dämpfungsverlauf bezeichnet:

$$a(f) = - \ln |H(f)|\hspace{0.2cm}{\rm in \hspace{0.1cm}Neper \hspace{0.1cm}(Np) } = - 20 \cdot \lg |H(f)|\hspace{0.2cm}{\rm in \hspace{0.1cm}Dezibel \hspace{0.1cm}(dB) }.$$

  • Der Phasengang $b(f)$ gibt den negativen frequenzabhängigen Winkel von $H(f)$ in der komplexen Ebene an, bezogen auf die reelle Achse:

$$b(f) = - {\rm arc} \hspace{0.1cm}H(f) \hspace{0.2cm}{\rm in \hspace{0.1cm}Radian \hspace{0.1cm}(rad)}.$$

Dämpfungs- und Phasenverlauf bei verzerrungsfreien Systemen (1)

Nach den Ausführungen im Kapitel 2.1 liegt genau dann ein verzerrungsfreies System vor, wenn alle Frequenzanteile gleichermäßig gedämpft und verzögert werden: $$y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau).$$ Nach den Gesetzmäßigkeiten der Systemtheorie muss deshalb für den Frequenzgang $$H(f) = \alpha \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.04cm}2 \pi f \tau}$$ gelten, oder ausgedrückt mit den Funktionen $a(f)$ und $b(f)$:

  • Der Dämpfungsverlauf muss für alle im Eingangssignal enthaltenen Frequenzen konstant sein:

$$a(f) = - \ln |H(f)| = - \ln \alpha = {\rm const.}$$

  • Der Phasenverlauf muss im interessierenden Bereich entweder 0 sein (System ohne Laufzeit) oder linear mit der Frequenz ansteigen $(τ$ gibt dabei die Laufzeit an):

$$b(f) = 2 \pi f \tau = {\rm const.} \cdot f.$$

Bei einem verzerrungsfreien System müssen beide Forderungen gleichzeitig erfüllt sein. Bei Verletzung auch nur einer dieser beiden Bedingungen kommt es zu linearen Verzerrungen, die entsprechend ihrer Ursache unterschieden werden.

Dämpfungsverzerrungen gibt es, wenn im interessierenden Frequenzbereich der Dämpfungsverlauf nicht konstant ist: $$a(f) \ne {\rm const.}$$ Phasenverzerrungen liegen vor, wenn die Phasenfunktion nicht linear bezüglich $f$ ist: $$b(f) \ne {\rm const.} \cdot f.$$


Anzumerken ist, dass bei allen realisierbaren Systemen – insbesondere den im Kapitel 3 beschriebenen „minimalphasigen” – meist beide Verzerrungsformen gleichzeitig auftreten.

Im Zeitbereich lautet die Bedingung für ein verzerrungsfreies System: $$h(t) = \alpha \cdot \delta(t - \tau),\hspace{0.4cm}\alpha \ne 0.$$

Ist zudem $α =$ 1 und $τ =$ 0, so liegt ein ideales Übertragungssystem vor. Dagegen gibt es immer dann lineare Verzerrungen, wenn

  • $h(t)$ eine zeitkontinuierliche Funktion ist, oder
  • $h(t)$ sich aus mehr als einer Diracfunktion zusammensetzt.