Aufgabe 2.2: Mehrstufensignale

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Das Rechtecksignal $x(t)$ sei dimensionslos und kann nur die Momentanwerte $0, 1, 2, ... , M-2, M-1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Die obere Grafik zeigt dieses Signal für den Sonderfall $M = 5$.

Auch das Rechtecksignal $y(t)$ sei$M$–stufig, aber mittelwertfrei und auf den Wertebereich von $y > -y_0$ bis $y < +y_0$ beschränkt. In der unteren Grafik sehen Sie das Signal $y(t)$, wiederum für die Stufenzahl $M = 5$. Setzen Sie für numerische Berechnungen $y_0 = 2\hspace{0.05cm}V$.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf Kapitel 2.2. Eine Zusammenfassung bietet das folgende Lernvideo:

Fragebogen

1

Wie groß ist der lineare Mittelwert der Zufallsgröße x für M = 5?

M=5: $m_x$ =

2

Wie groß ist die Varianz der Zufallsgröße x allgemein und für M = 5?

M=5: $\sigma_x^2$ =

3

Berechnen Sie den Mittelwert m_y der Zufallsgröße y für M = 5.

M=5: $m_y$ = $V$

4

Geben Sie die Varianz σ_y² der Zufallsgröße y an. Berücksichtigen Sie dabei das Ergebnis aus (b). Welcher Wert ergibt sich wiederum für M = 5?

M=5: $\sigma_y^2$ = $V^2$

Musterlösung

Musterlösung

1.  Man erhält durch Mittelung über alle möglichen Signalwerte für den linearen Mittelwert:

$$m_{\it x}=\rm \sum_{\mu=0}^{\it M-{\rm 1}} \it p_\mu\cdot x_{\mu}=\frac{\rm 1}{\it M}\sum_{\mu=\rm 0}^{\it M-\rm 1}\mu=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M}{\rm 2}=\frac{\it M-\rm 1}{\rm 2}.$$

Im Sonderfall M = 5 ergibt sich der lineare Mittelwert m_x = 2.

2.  Analog gilt für den quadratischen Mittelwert:

$$m_{\rm 2\it x}= \rm \sum_{\mu=0}^{\it M -\rm 1}\it p_\mu\cdot x_{\mu}^{\rm 2}=\frac{\rm 1}{\it M}\sum_{\mu=\rm 0}^{\rm M-1}\mu^{\rm 2} = \frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}\\ = \frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}.$$

Im Sonderfall M = 5 ergibt sich der quadratische Mittelwert m_2x = 6.

Daraus kann die Varianz mit dem Satz von Steiner berechnet werden:

$$\sigma_x^{\rm 2}=m_{\rm 2\it x}-m_x^{\rm 2}=\frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}-\frac{(\it M-\rm 1)^{\rm 2}}{\rm 4}=\frac{\it M^{\rm 2}-\rm 1}{\rm 12}.$$

Im Sonderfall M = 5 ergibt sich die Varianz σ_x² = 2.

3.  Aufgrund der Symmetrie von y gilt unabhängig von M:

$$\it m_{\rm y}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 0}.$$

4.  Zwischen x(t) und y(t) gilt folgender Zusammenhang:

$$y(t)=\frac{\rm 2\cdot \it y_{\rm 0}}{\it M-\rm 1}\cdot [\it x(t)-m_x].$$

Daraus folgt für die Varianzen:

$$\it \sigma_y^{\rm 2}=\frac{\rm 4\cdot\it y_{\rm 0}^{\rm 2}}{(\it M - \rm 1)^{\rm 2}}\cdot\it \sigma_x^{\rm 2}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot (\it M^{\rm 2}-\rm 1)}{\rm 3\cdot (\it M-\rm 1)^{\rm 2}}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot (\it M+\rm 1)}{\rm 3\cdot (\it M-\rm 1)}.$$

Im Sonderfall M = 5 ergibt sich für diese Varianz:

$$\it \sigma_y^{\rm 2}= \frac {\it y_{\rm 0}^{\rm 2} \cdot {\rm 6}}{\rm 3 \cdot 4}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm2\,V^{2}}.$$