Aufgabe 4.5: 2D-Prüfungsauswertung

In einer Studie wurden die Meisterprüfungen für das Handwerk untersucht, die sich stets aus einem theoretischen und zusätzlich einem praktischen Teil zusammensetzen. Im Bild bezeichnet

t die Punktzahl in der theoretischen Prüfung,

p die Punktzahl in der praktischen Prüfung.

Beide Zufallsgrößen (t und p) sind dabei jeweils auf die Maximalpunktezahlen normiert und können deshalb nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen.

Beide Zufallsgrößen sind zudem als kontinuierliche Zufallsgrößen zu interpretieren, das heißt: t und p sind nicht auf diskrete Zahlenwerte beschränkt.

Die Grafik zeigt die WDF f_tp(t, p) der zweidimensionalen Zufallsgröße (t, p), die nach der Auswertung von insgesamt N = 10000 Abschlussarbeiten veröffentlicht wurde. Diese Funktion wurde mit Hilfe eines Auswertungsprogramms empirisch wie folgt angenähert:

$$f_{tp}(t,p) = \rm 13.263\cdot \rm exp \Bigg\{-\frac{(\it t - \rm 0.5)^{\rm 2}}{\rm 0.0288}-\frac{(\it p-\rm 0.7)^{\rm 2}}{\rm 0.0072} + \frac{(\it t-\rm 0.5)(\it p-\rm 0.7)}{\rm 0.0090}\Bigg\}.$$

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Inhalt von Kapitel 4.2. Die hier behandelte Thematik ist in zwei Lernvideos zusammengefasst:

Fragebogen

$m_t$ =

$m_p$ =

$\sigma_t$ =

$\sigma_p$ =

$\rho$ =

	Der Gauß-Ansatz ist für dieses Problem nur eine Näherung.
	War ein Prüfling im Theoretieteil überdurchschnittlich gut, so ist zu erwarten, dass er in der Praxis eher schlecht ist.

$Pr[(0.49 ≤ t ≤0.51)∩(0.49≤ p ≤0.51)]$ =

$. 10^-5$

Musterlösung

1. und 2. Die Mittelwerte m_t = 0.5 und m_p = 0.7 können aus der Skizze abgeschätzt und aus der angegebenen Gleichung exakt ermittelt werden. Die 2D–WDF der mittelwertfreien Größe lautet:

$$f_{\it t'p'}(\it t', \it p') = \rm 13.263\cdot \rm exp\Bigg (-\frac{\it t'^{\rm 2}}{\rm 0.0288} - \frac{\it p'^{\rm 2}}{\rm 0.0072}+\frac{\it t'\cdot p'}{\rm 0.0090}\Bigg ). $$

Zur Vereinfachung wird im Folgenden auf den Apostroph zur Kennzeichnung mittelwertfreier Größen verzichtet. Sowohl t als auch p sind bis einschließlich Aufgabe (d) als mittelwertfrei zu verstehen.

3. Die allgemeine Gleichung einer mittelwertfreien 2D-Zufallsgröße lautet:

$$f_{\it tp}(\it t, \it p)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it \pi\sigma_{\it t}\sigma_{\it p}\sqrt{\rm 1- \it\rho^{\rm 2}}}\hspace{0.1cm}\cdot $$

$$\hspace{0.5cm}\cdot \hspace{0.1cm} \rm exp\Bigg\{-\hspace{0.1cm}\frac{\it t^{\rm 2}}{\rm 2(\rm 1-\rho^{\rm 2})\sigma_{\it t}^{\rm 2}} \hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}\frac{\it p^{\rm 2}}{\rm 2(\rm 1-\it\rho^{\rm 2})\sigma_{\it p}^{\rm 2}}\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\frac{\rho\cdot \it t\cdot \it p}{(\rm 1-\it \rho^{\rm 2})\sigma_{\it t}\cdot\sigma_{\it p}}\Bigg\}.$$

Die Größen σ_t, σ_p und ρ lassen sich durch Koeffizientenvergleich ermitteln. Ein Vergleich der beiden ersten Terme im Exponenten zeigt, dass σ_t = 2 · σ_p gelten muss. Damit lautet die WDF:

$$f_{\it tp}(\it t, \it p)=\frac{\rm 1}{\rm 4\it \pi\sigma_{\it p}^{\rm 2}\sqrt{\rm 1- \it\rho^{\rm 2}}}\hspace{0.1cm}\cdot $$

$$\cdot\hspace{0.1cm}\rm exp\Bigg\{-\hspace{0.1cm}\frac{\it t^{\rm 2}}{\rm 8(\rm 1-\rho^{\rm 2})\sigma_{\it p}^{\rm 2}} -\hspace{0.1cm}\frac{\it p^{\rm 2}}{\rm 2(\rm 1-\it\rho^{\rm 2})\sigma_{\it p}^{\rm 2}}+\hspace{0.1cm}\frac{\rho\cdot \it t\cdot \it p}{\rm 2(\rm 1-\it \rho^{\rm 2})\cdot\sigma_{\it p}^{\rm 2}}\Bigg\}.$$

Aus dem zweiten Term des Exponenten folgt:

$$\rm 2\cdot(\rm 1-\it\rho^{\rm 2})\cdot\it\sigma_{\it p}^{\rm 2}=\rm 0.0072\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \it \sigma_{\it p}^{\rm 2} = \frac{\rm 0.0036}{\it({\rm 1}-\rho^{\rm 2})}.$$

Der Faktor K = 13.263 liefert nun das Ergebnis

$$K = \frac{\sqrt{\rm 1-\it\rho^{\rm 2}}}{\rm 4\it\pi\cdot \rm 0.0036}=\rm 13.263 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\sqrt{\rm 1-\it\rho^{\rm 2}}=\rm 0.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\hspace{0.15cm}\underline{ \rm \rho = \rm 0.8}.$$

Daraus ergeben sich die beiden Streuungen zu σ_p = 0.1 und σ_t = 0.2. Zur Kontrolle kann der letzte Term des Exponenten verwendet werden:

$$\frac{(\rm 1 - \it \rho^{\rm 2})\cdot\it\sigma_{\it t}\cdot\sigma_{\it p}}{\it \rho} = \rm \frac{0.36\cdot 0.1\cdot 0.2}{0.8} = \rm 0.009.$$

Dies stimmt mit dem vorgegebenen Wert überein.

4. Der Lösungsvorschlag 1 ist richtig. Im Grunde genommen ist (t, p) keine echte Gaußsche Zufallsgröße, da beide Komponenten begrenzt sind. Die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse t < 0, t > 1, p < 0 und p > 1 sind somit Null. Bei Gaußschen Größen mit den hier vorliegenden Mittelwerten und Streuungen ergeben sich jedoch

$$\rm Pr(\it t < \rm 0) = \rm Pr(\it t > \rm 1) = \rm Q(2.5)\approx 6\cdot 10^{-3},$$

$$\rm Pr(\it p > \rm 1) = \rm Q(3)\approx 1.3\cdot 10^{-3},$$

$$\rm Pr(\it p < \rm 0) = \rm Q(7)\approx 10^{-12}.$$

Der Korrelationskoeffizient ρ = 0.8 ist hier positiv. Hat der Prüfling im theoretischen Teil eher gut abgeschnitten, so ist (zumindest bei dieser Aufgabe) zu erwarten, dass auch der praktische Teil gut läuft. Hier ist der Lösungsvorschlag 2 somit falsch. In der Praxis ist das sicher nicht immer so.

5. Für diese Wahrscheinlichkeit gilt mit Δt = Δp = 0.02:

$$\rm Pr\Bigg (( \rm 0.5-\frac{\rm\Delta\it t}{\rm 2}\le \it t \le \rm 0.5+\frac{\rm\Delta\it t}{\rm 2})\cap(\rm 0.5-\frac{\rm\Delta\it p}{\rm 2}\le \it p \le \rm 0.5+\frac{\rm\Delta\it p}{\rm 2})\Bigg)$$

$$\approx \rm\Delta\it t\cdot\rm\Delta\it p\cdot \it f_{tp}(t=\rm 0.5, \it p = \rm 0.5).$$

Für die 2D-WDF gilt unter Berücksichtigung der Mittelwerte m_t = 0.5 und m_p = 0.7:

$$f_{tp}(\it t=\rm 0.5, \it p=\rm 0.5) = \rm 13.263\cdot exp(-\frac{(-0.2)^{2}}{0.0072})\approx 0.0513.$$

Damit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu 0.02 · 0.02 · 0.0513 ≈ 2 · 10^–5.