Aufgabe 4.4: Koaxialkabel – Frequenzgang
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Version vom 1. Oktober 2016, 17:43 Uhr von Nabil (Diskussion | Beiträge)
- Ein so genanntes Normalkoaxialkabel mit dem Kerndurchmesser 2.6 mm, dem Außendurchmesser 9.5 mm und der Länge l besitzt den folgenden Frequenzgang:
- $$H_K(f) = e^{- \alpha_0 \cdot l} \cdot e^{- \alpha_1 \cdot l \cdot f} \cdot e^{- \alpha_2 \cdot l \sqrt{f}} \cdot e^{-j \cdot \beta_1 \cdot l \cdot f} \cdot e^{-j \cdot \beta_2 \cdot l \cdot \sqrt{f}}$$
- Die Dämpfungsparameter α0, α1 und α2 sind in Neper (Np), die Phasenparameter β1 und β2 in Radian (rad) einzusetzen.
- Es gelten folgende Zahlenwerte:
- $$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{\rm km} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{{\rm km} \cdot {\rm MHz}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
- Häufig verwendet man zur systemtheoretischen Beschreibung eines linearen zeitinvarianten Systems
- die Dämpfungsfunktion (in Np bzw. dB):
- $${\rm a}_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)| \hspace{0.05cm},$$
- die Phasenfunktion (in rad bzw. Grad):
- $$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f) \hspace{0.05cm}.$$
- In der Praxis benutzt man häufig die Näherung
- $$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot \frac{\rm rad}{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
- Dies ist erlaubt, da α2 und β2 genau den gleichen Zahlenwert – nur unterschiedliche Pseudoeinheiten – besitzen. Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)
- $${\rm a}_{\rm \star(Np)} = {\rm a}_{\rm K}(f = {R}/{2}) = 0.1151 \cdot {\rm a}_{\rm \star(dB)}$$
- lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate R und Kabellänge l einheitlich behandeln.
- Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 4.2 dieses Buches. Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das folgende Interaktionsmodul benutzen:
- Dämpfung von Kupferkabeln
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Der α0–Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung und der β1–Term (lineare Phase) eine frequenzunabhängige Laufzeit. Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei ⇒ Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4.
- 2. Mit a0 = a0 · l muss folgende Gleichung erfüllt sein:
- $${\rm e}^{- {\rm a}_0 } \ge 0.99 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm a}_0 < {\rm ln} \hspace{0.10cm}\frac{1}{0.99}\approx 0.01\,\,{\rm (Np)} \hspace{0.05cm}.$$
- Damit erhält man für die maximale Kabellänge
- $$l_{\rm max} = \frac{{\rm a}_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.173\,\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$
- 3. Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme:
- $$a_{\rm K}(f) = [\alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt{f}\hspace{0.05cm}] \cdot l = \\ = [0.00162 + 0.000435 \cdot 70 + 0.2722 \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} = \\ = [0.003 + 0.061 + 4.555 \hspace{0.05cm}]\, {\rm Np}\hspace{0.15cm}\underline{= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
- 4. Entsprechend der Berechnung bei Punkt 3) erhält man hier den Dämpfungswert 4.555 Np.
- 5. Für eine jede positive Größe x gilt:
- $$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x = \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} = \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot (20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.6859 \cdot x_{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
- Der Dämpfungswert 4.555 Np ist somit identisch mit 39.56 dB.
- 6. Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit α2 gilt für den Frequenzgang:
- $$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot f} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$
- Verzichtet man auf den β1–Phasenterm, so ändert sich bezüglich den Verzerrungen nichts. Lediglich die Phasen– und die Gruppenlaufzeit würden (beide gleich) um den Wert τ1 = (β1 · l)/2π kleiner.
- Verzichtet man auf den β2–Term, so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:
- Der Frequenzgang HK(f) erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems; bei einem solchen muss HK(f) minimalphasig sein.
- Die Impulsantwort hK(t) ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch um t = 0, was nicht den Gegebenheiten entspricht.
- Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:
- $$a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot {\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
- Das heißt: aK(f) und bK(f) eines Koaxialkabels sind in erster Näherung formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten.
- Bei einem Digitalsystem mit der Bitrate R = 140 Mbit/s ⇒ R/2 = 70 Mbit/s und der Kabellänge l = 2 km gilt tatsächlich a∗ ≈ 40 dB (siehe Musterlösung zur letzten Teilaufgabe). Ein System mit vierfacher Bitrate (R/2 = 280 Mbit/s) und halber Länge (l = 1 km) führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung. Dagegen gilt für ein System mit R/2 = 35 Mbit/s und l = 2 km:
- $$a_{\rm dB} = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot {\rm 2\,km}\cdot\sqrt{\rm 35\,MHz} \cdot 8.6859 \,\frac {\rm dB}{\rm Np} \approx 28\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$
- Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1, 4 und 5.
