Aufgabe 3.4Z: Trapez, Rechteck und Dreieck
Betrachtet werden drei unterschiedliche Impulsformen. Der Impuls ${x(t)}$ ist trapezförmig. Für $| t | < t_1 = 4 \,\text{ms}$ ist der Zeitverlauf konstant ${A} = 1\, \text{V}$. Danach fällt ${x(t)}$ bis zum Zeitpunkt $t_2 = 6\, \text{ms}$ linear bis auf den Wert $0$ ab.
Mit den beiden abgeleiteten Systemgrößen, nämlich
- der äquivalenten Impulsdauer
- $$\Delta t = t_1 + t_2$$
- und dem so genannten Rolloff-Faktor
- $$r_t = \frac{t_2 - t_1 }{t_2 + t_1 }$$
lautet die Spektralfunktion des Trapezimpulses:
- $$X( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi} \cdot \Delta t \cdot f} ) \\ \cdot \hspace{0.1cm}{\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}\cdot \Delta t \cdot r_t \cdot f} ).$$
Weiter sind im Bild rechts noch der Rechteckimpuls $\text{r(t)}$ und der Dreieckimpuls $\text{d(t)}$ dargestellt, die beide als Grenzfälle des Trapezimpulses $\text{x(t)}$ interpretiert werden können.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation.
- Verwenden Sie zur Lösung den Vertauschungssatz und den Ähnlichkeitssatz.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Sie können Ihre Ergebnisse anhand zweier Interaktionsmodule überprüfen:
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 3.3. Sie können Ihre Ergebnisse anhand zweier Interaktionsmodule überprüfen:
- Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion
- Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort
Fragebogen
Musterlösung
2. Der Spektralwert bei $f = 0$ beträgt $A \cdot \Delta t = 10 \text{mV/Hz}$. Da $\text{X(f)}$ reell ist und sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, sind nur die zwei Phasenwerte $0$ und $\pi$ möglich.
Nullstellen gibt es aufgrund der ersten si-Funktion bei allen Vielfachen von $1/\Delta t = 100 \text{Hz}$. Die zweite si-Funktion führt zu Nulldurchgängen im Abstand $1/(r_t \cdot \Delta t) = 500 \text{Hz}$. Diese fallen exakt mit den Nullstellen der ersten si-Funktion zusammen. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 2 und 3.
3. Mit der äquivalenten Impulsdauer $\Delta t = 10 \text{ms}$ und dem Rolloff-Faktor $r_t = 0$ erhält man:
- $$R( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ).$$
Das heißt: Alle Lösungsvorschläge sind zutreffend.
4. Beim Dreieckimpuls ist der Rolloff-Faktor $r_t = 1$. Die äquivalente Impulsdauer ist ebenfalls $\Delta t = 10 \text{ms}$. Daraus folgt:
- $$D( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ).$$
Da $\text{D(f)}$ nicht negativ werden kann, ist die Phasenfunktion arc[$\text{D(f)}$] stets $0$. Der Phasenwert $\pi$ ($180°$) ist also bei der Dreieckform nicht möglich. Die Lösungsvorschläge 1 und 3 sind dagegen zutreffend.
