Aufgabe 3.9Z: Sinustransformation

Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Zufallsgröße $x$ mit $\sin^2$–förmiger WDF im Bereich zwischen $x= 0$ und $x= 2$ (außerhalb ist die WDF identisch $0$): $$f_x(x)= \sin^2({\rm\pi}/{\rm 2}\cdot x) \hspace{1cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}{\rm 0\le \it x \le \rm 2} .$$

Der Mittelwert und die Streuung dieser Zufallsgröße $x$ wurden bereits in der Aufgabe 3.3 ermittelt: $$m_x = 1,\hspace{0.2cm}\sigma_x = 0.361.$$

Eine weitere Zufallsgröße $y$ erhält man durch Transformation mittels der nichtlinearen Kennlinie $$y= g(x) =\sin({\rm\pi}{\rm 2}\cdot x).$$

Die Abbildung zeigt jeweils im Bereich $0 \le x \le 2$:

oben die WDF f_x(x),
unten die nichtlineare Kennlinie $y = g(x)$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Exponentialverteilte Zufallsgröße.
Bezug genommen wird auch auf die Seite Transformation von Zufallsgrößen und auf das Kapitel Erwartungswerte und Momente.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Vorgegeben sind die beiden unbestimmten Integrale:

$$\int \sin^{\rm 3}( ax)\,{\rm d}x = \frac{\rm 1}{ 3 a} \cdot \cos^{\rm 3}( ax)-\frac{\rm 1}{ a}\cdot \cos(ax),$$

$$\int \sin^{\rm 4}(ax)\,{\rm d}x =\frac{\rm 3}{\rm 8}\cdot x-\frac{\rm 1}{\rm 4 a} \cdot \sin(2 ax)+\frac{\rm 1}{32 a}\cdot \sin(4 ax).$$

Fragebogen

	y ist auf den Wertbereich 0 ≤ y ≤ 1 begrenzt.
	y ist auf den Wertbereich 0 < y ≤ 1 begrenzt.
	Der Mittelwert m_y ist kleiner als der Mittelwert m_x.

$m_y$ =

$\sigma_y$ =

$f_y(y=0.6)$ =

$Pr(y=1)$ =

Musterlösung

1. Aufgrund des Wertebereichs von x und der gegebenen Kennlinie kann y keine Werte kleiner als 0 bzw. größer als 1 annehmen. Der Wert y = 0 kann ebenfalls nicht auftreten, da weder x = 0 noch x = 2 möglich sind. Mit diesen Eigenschaften ergibt sich sicher m_y < 1, also ein kleinerer Wert als für m_x. Richtig sind also der zweite und der dritte Lösungsvorschlag.

2. Zur Lösung dieser Aufgabe könnte man beispielsweise zunächst die WDF f_y(y) bestimmen und daraus in gewohnter Weise m_y berechnen. Zum gleichen Ergebnis führt der direkte Weg:

$$\it m_y=E[y]=E[g(x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\cdot f_x(x)\,{\rm d}x.$$

Mit den aktuellen Funktionen g(x) und f_x(x) erhält man:

$$\it m_y=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.1cm}\rm sin^{\rm 3}(\frac{\rm\pi}{\rm 2}\cdot \it x)\,{\rm d}x=\frac{\rm 2}{\rm 3\cdot \pi}\cdot \rm cos^{\rm 3}(\frac{\rm \pi}{\rm 2}\cdot \it x)-\frac{\rm 2}{\rm \pi}\rm \cdot cos(\frac{3 \cdot \rm \pi}{\rm 2}\cdot \it x)\Big|_{\rm 0}^{\rm 2}=\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot \pi} \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.849}.$$

3. In Analogie zu Punkt 2. gilt:

$$\it m_{\rm 2\it y}=\it E[y^{\rm 2}]=\it E[g^{\rm 2}(\it x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.35cm}g^{\rm 2}(\it x)\cdot\it f_x(x)\,{\rm d}x.$$

Dies führt zum Ergebnis:

$$\it m_{\rm 2\it y}=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.15cm}\rm sin^{\rm 4}(\frac{\rm \pi}{\rm 2}\cdot\it x)\,{\rm d} x= \frac{\rm 3}{\rm 8}\cdot\it x-\frac{\rm 1}{\rm 2\cdot\pi}\cdot \rm sin(\rm \pi\cdot\it x)+\frac{\rm 1}{\rm 16\cdot\pi}\cdot \rm sin(\rm 2\cdot \pi\cdot\it x)\Big|_{\rm 0}^{\rm 2} \hspace{0.15cm}{= \rm 0.75}.$$

Mit dem Ergebnis aus 2. folgt somit für die Streuung:

$$\it \sigma_{y}=\sqrt{\frac{\rm 3}{\rm 4}-\Big(\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot\pi}\Big)^{\rm 2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.172}.$$

4. Aufgrund der Symmetrie von WDF f_x(x) und Kennlinie y = g(x) um x = 1 liefern die beiden Bereiche „0 ≤ x ≤ 1” und „1 ≤ x ≤ 2” jeweils den gleichen Beitrag für f_y(y). Im ersten Bereich ist die Ableitung der Kennlinie positiv,

$$\it g'(x)={\rm \pi}/{\rm 2}\cdot \rm cos({\rm \pi}/{\rm 2}\cdot\it x),$$

und die Umkehrfunktion lautet:

$$\it x=h(y)={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \rm arcsin(\it y).$$

Unter Berücksichtigung des zweiten Beitrags durch den Faktor 2 erhält man für die gesuchte WDF im Bereich „0 ≤ y ≤ 1” (außerhalb ist f_y(y) = 0):

$$f_y(y)=\rm 2\cdot\frac{sin^{\rm 2}({\rm \pi}/{\rm 2}\cdot\it x)}{{\rm \pi}/{\rm 2}\cdot cos({\rm \pi}/{\rm 2}\cdot\it x)}\Big|_{\, \it x={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \rm arcsin(\it y)}.$$

Dies führt zum Zwischenergebnis:

$$f_y(y)=\frac{\rm 4}{\rm \pi}\cdot \frac{\rm sin^{\rm 2}(\rm arcsin(\it y))}{\sqrt{\rm 1-sin^{\rm 2}(\rm arcsin(\it y))}}.$$

Wegen sin(arcsin(y)) = y erhält man schließlich:

$$f_y(y)=\frac{\rm 4}{\rm \pi}\cdot \frac{\it y^{\rm 2}}{\sqrt{\rm 1-\it y^{\rm 2}}}.$$

An der Stelle y = 0.6 erhält man den Wert 0.573. Rechts ist die WDF f_y(y) grafisch dargestellt.

5. Die WDF ist an der Stelle y = 1 unendlich groß. Dies hängt damit zusammen, dass an dieser Stelle die Ableitung g'(x) der Kennlinie horizontal verläuft. Da aber y eine kontinuierliche Zufallsgröße ist, gilt trotzdem Pr(y = 1) = 0. Das bedeutet: Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist nicht identisch mit einer Diracfunktion.