Struktur des optimalen Empfängers

1. Digitalsignalübertragung
2. Verallgemeinerte Beschreibung digitaler Modulationsverfahren
3. Struktur des optimalen Empfängers

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Blockschaltbild und Voraussetzungen

In diesem Kapitel wird die Struktur des optimalen Empfängers eines digitalen Übertragungssystems sehr allgemein hergeleitet, wobei

• das Modulationsverfahren und weitere Systemdetails nicht weiter spezifiziert werden,
  
• von den Basisfunktionen und der Signalraumdarstellung gemäß Kapitel 4.1 ausgegangen wird..

Zum obigen Blockschaltbild ist anzumerken:

• Der Symbolumfang der Quelle beträgt M und der Symbolvorrat ist {m_i} mit i = 0, ... , M – 1. Die zugehörigen Symbolwahrscheinlichkeiten Pr(m = m_i) seien auch dem Empfänger bekannt.
  

• Zur Nachrichtenübertragung stehen M verschiedene Signalformen s_i(t) zur Verfügung, wobei für die Laufvariable ebenfalls die Indizierung i = 0, ... , M – 1 gelten soll.
  

• Es besteht eine feste Beziehung zwischen den Nachrichten {m_i} und den Signalen {s_i(t)}. Wird die Nachricht m = m_i übertragen, so ist das Sendesignal s(t) = s_i(t).
  

• Lineare Kanalverzerrungen sind in der obigen Grafik durch die Impulsantwort h(t) berücksichtigt. Außerdem ist ein (irgendwie geartetes) Rauschen n(t) wirksam.
  

• Mit diesen beiden die Übertragung störenden Effekten lässt sich das am Empfänger ankommende Signal r(t) in folgender Weise angeben:

\[r(t) = s(t) \star h(t) + n(t) \hspace{0.05cm}.\]

• Aufgabe des (optimalen) Empfängers ist es, anhand seines Eingangssignals r(t) herauszufinden, welche der M möglichen Nachrichten m_i – bzw. welches der Signale s_i(t) – gesendet wurde.
  

• Der vom Empfänger gefundene Schätzwert für m wird in Gleichungen durch ein „Circonflexe” (^) gekennzeichnet. Im Fließtext (HTML–Zeichensatz) ist diese Darstellung leider nicht möglich.
  

• Man spricht von einem optimalen Empfänger, wenn die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit den für die Randbedingungen kleinstmöglichsten Wert annimmt:

\[p_{\rm S} = {\rm Pr} ({\cal E}) = {\rm Pr} ( \hat{m} \ne m) \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm}.\]

Hinweis: Im Folgenden wird meist r(t) = s(t) + n(t) vorausgesetzt, was bedeutet, dass h(t) = δ(t) als verzerrungsfrei angenommen wird. Andernfalls könnten wir die Signale s_i(t) als s'_i(t) = s_i(t) ∗ h(t) neu definieren, also die deterministischen Kanalverzerrungen dem Sendesignal beaufschlagen.

Fundamentaler Ansatz zum optimalen Empfängerentwurf (1)

Gegenüber dem auf der vorherigen Seite gezeigten Blockschaltbild führen wir nun einige wesentliche Verallgemeinerungen durch:

• Der Übertragungskanal wird durch die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p_r(t)|s(t) beschrieben, welche die Anhängigkeit des Empfangssignals r(t) vom Sendesignal s(t) festlegt.
  

• Wurde nun ein ganz bestimmtes Signal r(t) = ρ(t) empfangen, so hat der Empfänger die Aufgabe, anhand dieses Signals ρ(t) sowie der M bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen

\[p_{r(t) | s(t) } (\rho(t) | s_i(t))\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm} i = 0, ... \hspace{0.05cm}, M-1\]

unter Berücksichtigung aller möglichen Sendesignale s_i(t) und deren Auftrittswahrscheinlichkeiten Pr(m = m_i) herauszufinden, welche der möglichen Nachrichten (m_i) bzw. welches der möglichen Signale (s_i(t)) am wahrscheinlichsten gesendet wurde.

• Die Schätzung des optimalen Empfängers ist also ganz allgemein bestimmt durch die Gleichung

\[\hat{m} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} p_{s(t) | r(t) } ( s_i(t) | \rho(t)) = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} p_{m | r(t) } ( m_i | \rho(t))\hspace{0.05cm},\]

wobei wieder berücksichtigt ist, dass die gesendete Nachricht m = m_i und das gesendete Signal s(t) = s_i(t) eineindeutig ineinander übergeführt werden können.

In anderen Worten: Der optimale Empfänger betrachtet diejenige Nachricht m_i als die gesendete, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p_m|r(t) für das anliegende Empfangssignal ρ(t) sowie unter der Annahme m = m_i den größtmöglichen Wert annimmt.

Bevor wir die obige Entscheidungsregel näher diskutieren, soll der optimale Empfänger entsprechend der Grafik noch in zwei Funktionsblöcke aufgeteilt werden:

• Der Detektor nimmt am Empfangssignal r(t) verschiedene Messungen vor und fasst diese im Vektor r zusammen. Bei K Messungen entspricht r einem Punkt im K–dimensionalen Vektorraum.
  

• Der Entscheider bildet abhängig von diesem Vektor den Schätzwert. Bei einem gegebenen Vektor r = ρ lautet dabei die Entscheidungsregel:

\[\hat{m} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} P_{m | \boldsymbol{ r} } ( m_i | \boldsymbol{\rho}) \hspace{0.05cm}.\]

Im Gegensatz zur oberen Gleichung tritt nun in der Entscheidungsregel eine bedingte Wahrscheinlichkeit P_m|r anstelle der bedingten Wahrscheinlichkeitskeitsdichtefunktion (WDF) p_m|r(t) auf. Beachten Sie bitte die Groß– bzw. Kleinschreibung für die unterschiedlichen Bedeutungen.

Fundamentaler Ansatz zum optimalen Empfängerentwurf (2)

Wir betrachten nun die Funktion y = arg max p(x), wobei p(x) die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) einer wertkontinuierlichen oder wertdiskreten Zufallsgröße x beschreibt. Im zweiten Fall besteht die WDF aus einer Summe von Diracfunktionen mit den Wahrscheinlichkeiten als Impulsgewichte.

Die Grafik zeigt beispielhafte Funktionen. In beiden Fällen liegt das WDF–Maximum (17) bei x = 6:

\[\max_i \hspace{0.1cm} p(x) = 17\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}y = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} p(x) = 6\hspace{0.05cm}.\]

Man nennt die (bedingten) Wahrscheinlichkeiten in der Gleichung

\[\hat{m} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} P_{m | \boldsymbol{ r} } ( m_i | \boldsymbol{\rho})\]

auch a–Posteriori–Wahrscheinlichkeiten. Mit dem Satz von Bayes kann hierfür geschrieben werden:

\[P_{m | \boldsymbol{ r} } ( m_i | \boldsymbol{\rho}) = \frac{{\rm Pr}( m_i) \cdot p_{\boldsymbol{ r}|m } (\boldsymbol{\rho}|m_i )}{p_{\boldsymbol{ r}} (\boldsymbol{\rho})} \hspace{0.05cm}.\]

Da der Term im Nenner für alle m_i gleich ist, muss er für die Entscheidung nicht weiter berücksichtigt werden. Damit erhält man die folgenden Regeln:

1: Die Entscheidungsregel des optimalen Empfängers, auch bekannt als MAP–Empfänger (die Abkürzung steht für Maximum–a–posteriori), lautet:

\[\hat{m}_{\rm MAP} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} P_{m | \boldsymbol{ r} } ( m_i | \boldsymbol{\rho}) = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [ {\rm Pr}( m_i) \cdot p_{\boldsymbol{ r}|m } (\boldsymbol{\rho}|m_i )]\hspace{0.05cm}.\]

Der Vorteil dieser Gleichung ist, dass die die Vorwärtsrichtung des Kanals beschreibende bedingte WDF p_r|m („Ausgang unter der Bedingung Eingang”) verwendet werden kann. Dagegen verwendet die erste Gleichung die Rückschlusswahrscheinlichkeiten P_m|r („Eingang unter der Bedingung Ausgang”).

2: Ein Maximum–Likelihood–Empfänger (ML–Empfänger) verwendet die Entscheidungsregel

\[\hat{m}_{\rm ML} = \hspace{-0.1cm} {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} p_{\boldsymbol{ r}|m } (\boldsymbol{\rho}|m_i )\hspace{0.05cm}.\]

Bei diesem werden die möglicherweise unterschiedlichen Auftrittswahrscheinlichkeiten Pr(m_i) für den Entscheidungsprozess nicht herangezogen, zum Beispiel, weil sie dem Empfänger nicht bekannt sind.

Hinweis: Im Kapitel 3.7 finden Sie eine andere Herleitung. Allgemein gilt: Bei gleichwahrscheinlichen Nachrichten {m_i}  ⇒  Pr(m_i) = 1/M ist der ML–Empfänger gleichwertig mit dem MAP–Empfänger:

\[\hat{m}_{\rm MAP} = \hat{m}_{\rm ML} =\hspace{-0.1cm} {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} p_{\boldsymbol{ r}|m } (\boldsymbol{\rho}|m_i )\hspace{0.05cm}.\]