Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh-Prozesses

Einige allgemeine Bemerkungen zu AKF und LDS

Zur Beschreibung der inneren statistischen Bindungen zwischen den benachbarten Signalwerten r(t) und r(t + Δt) eignet sich die Autokorrelationsfunktion (AKF):

\[\varphi_r ({\rm \Delta}t) = {1}/{2} \cdot {\rm E}\left [ r(t) \cdot r^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ] \hspace{0.05cm}.\]

Gegenüber der Definition unter obigem Link sind folgende Unterschiede zu erkennen:

Die AKF–Variable ist hier mit Δt anstelle von τ bezeichnet, da wir in diesem Buch das „τ” noch für die 2D–Impulsantwort h(t, τ) benötigen.

Das äquivalente Tiefpass–Signal r(t) ist komplex. Durch den Faktor 1/2 bezieht sich aber die AKF φ_r(Δt) und insbesondere die Leistung φ_r(Δt = 0) auf das Bandpass–Signal r_BP(t).

Beim Rayleigh–Fading–Kanalmodell gilt r(t) = s(t) · z(t). Damit ergibt sich für dessen AKF:

\[\varphi_r ({\rm \Delta}t) = {1}/{2} \cdot {\rm E}\left [ s(t) \cdot z(t) \cdot s^{\star}(t + {\rm \Delta}t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ] = \varphi_s ({\rm \Delta}t) \cdot \varphi_z ({\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.\]

Für die AKF von Sendesignal s(t) und multiplikativem Faktor z(t) gelten folgende Definitionen:

\[ \varphi_s ({\rm \Delta}t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {1}/{2} \cdot {\rm E}\left [ s(t) \cdot s^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ] \hspace{0.05cm},\] \[\varphi_z ({\rm \Delta}t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm E}\left [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ]\hspace{0.05cm}.\]

Der Faktor 1/2 ist nur bei der AKF–Berechnung von BP–Signalen im äquivalenten TP–Bereich zu berücksichtigen, nicht jedoch bei φ_z(Δt). Ansonsten würde sich φ_r(Δt) ≠ φ_s(Δt) · φ_z(Δt) ergeben.

Aufgrund der Definition φ_z(Δt) = E[z(t) · z*(t + Δt)] ist die AKF auch bei einer komplexen Zeitfunktion z(t) stets reell und zudem bezüglich Δt gerade. Berücksichtigen wir weiterhin, dass

z(t) = x(t) + j · y(t) ist,

x(t) und y(t) gleiche statistische Eigenschaften aufweisen, und

es zwischen x(t) und y(t) keine statistischen Bindungen gibt,

so lässt sich für die AKF des komplexen Faktors z(t) schreiben:

\[\varphi_z ({\rm \Delta}t) = \varphi_x ({\rm \Delta}t) + \varphi_y ({\rm \Delta}t) = 2 \cdot \varphi_x ({\rm \Delta}t) \hspace{0.05cm}.\]

Daraus ergibt sich folgende Vereinfachung:

Zur Ermittlung der statistischen Bindungen der komplexen Größe z(t) muss nur einer der beiden Gaußschen Zufallsprozesse betrachtet werden. Im Folgenden sei dies x(t).

Wir berechnen zuerst die Autokorrelationsfunktion φ_x(Δt) = E[x(t) · x(t + Δt)] des Realteils und anschließend auch dessen Leistungsdichtespektrum (LDS)

\[{\it \Phi}_x (f_{\rm D}) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi_x ({\rm \Delta}t) \cdot {\rm exp} [ -{\rm j} \cdot 2 \pi \cdot f_{\rm D} \cdot {\rm \Delta}t] \hspace{0.15cm}{\rm d}({\rm \Delta}t) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.3cm} \varphi_x ({\rm \Delta}t) \hspace{0.05cm}.\]

Für die entsprechenden Kenngrößen des komplexen Zufallsprozesses z(t) gilt dann:

\[\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \cdot \varphi_x ({\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\it \Phi}_z (f_{\rm D}) = 2 \cdot {\it \Phi}_x (f_{\rm D}) \hspace{0.05cm}.\]

Die LDS–Variable ist die Dopplerfrequenz f_D, da beim Mobilfunk der Dopplereffekt die Ursache der statistischen Bindungen ist. Dieser Effekt wird auf der nächsten Seite erläutert.

Phänomenologische Beschreibung des Dopplereffektes (1)

Die statistischen Bindungen innerhalb der reellen „Signale” x(t) und y(t) bzw. innerhalb der komplexen Größe z(t) sind auf den Dopplereffekt zurückzuführen. Dieser wurde Mitte des 19. Jahrhunderts von dem österreichischen Mathematiker, Physiker und Astronomen Christian Andreas Doppler theoretisch vorhergesagt und nach ihm benannt.

: Als Dopplereffekt bezeichnet man die Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen jeder Art, die sich dann ergibt, wenn sich Quelle (Sender) und Beobachter (Empfänger) relativ zueinander bewegen.

Qualitativ lässt sich der Dopplerreffekt wie folgt beschreiben:

Nähern sich Beobachter und Quelle einander an, so erhöht sich aus Sicht des Beobachters die Frequenz, egal, ob sich der Beobachter bewegt oder die Quelle oder beide.

Entfernt sich die Quelle vom Beobachter oder der Beobachter von der Quelle, so nimmt der Beobachter eine niedrigere Frequenz wahr, als tatsächlich gesendet wurde.

: Wir betrachten die Tonhöhenänderung des Martinhorns eines Rettungswagens. Solange sich das Fahrzeug nähert, hört der Beobachter einen höheren Ton als bei stehendem Wagen. Entfernt sich der Rettungswagen, so wird ein tieferer Ton wahrgenommen.
Den gleichen Effekt stellt man auch bei einem Autorennen fest. Die Frequenzänderungen und der „Sound” sind dabei um so deutlicher, je schneller die Autos fahren.

Den Sachverhalt kann man sich in diesem Lerntutorial mit dem Interaktionsmodul Dopplereffekt Please add file and don't upload flash videos. verdeutlichen. Einige Eigenschaften dieses noch aus dem Physikunterricht bekannten Effekts sollen nun anhand von Bildschirmabzügen aus dieser Flash–Animation dargestellt werden, wobei natürlich die dynamischen Programmeigenschaften verloren gehen.

Die Grafik zeigt die Ausgangssituation. Der ruhende Sender (S) gibt eine konstante Frequenz f_S ab. Die Wellenausbreitung ist in der Grafik durch konzentrische Kreise um (S) veranschaulicht. Beim ebenfalls ruhenden Empfänger (E) kommt dann natürlich die Frequenz f_E = f_S an.

Die phänomenologische Erklärung des Dopplereffektes wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.