Aufgabe 1.4: 2S/3E-Kanalmodell

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Ein Sender gibt die binären Symbole $L$ (Ereignis $S_L$) und $H$ (Ereignis $S_H$) ab. Bei guten Bedingungen entscheidet sich der Digitalempfänger ebenfalls nur für die Binärsymbole $L$ (Ereignis $E_L$) oder $H$ (Ereignis $E_H$). Kann der Empfänger allerdings vermuten, dass bei der Übertragung ein Fehler aufgetreten ist, so trifft er keine Entscheidung (Ereignis $E_K$; $K$ steht dabei für „Keine Entscheidung”).

Die Grafik zeigt ein einfaches Kanalmodell in Form von Übergangswahrscheinlichkeiten. Es ist zu erkennen, dass ein gesendetes $L$ durchaus als Symbol $H$ empfangen werden kann. Dagegen ist der Übergang von $H$ nach $L$ nicht möglich.

Die Symbolauftrittswahrscheinlichkeiten am Sender seien $Pr(S_L)$ = 0.3 und $Pr(S_H)$ = 0.7.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von Kapitel 1.3. Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:

Fragebogen

1

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Empfänger für das Symbol $L$ entscheidet?

$Pr(E_L)$ =

2

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Empfänger für das Symbol $H$ entscheidet?

$Pr(E_H)$ =

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Empfänger keine Entscheidung trifft?

$Pr(E_K)$ =

4

Mit welcher Wahrscheinlichkeit entscheidet der Empfänger falsch?

$Pr(falsche\ Entscheidung)$ =

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol $L$ gesendet wurde, wenn sich der Empfänger für das Symbol $L$ entschieden hat?

$Pr(S_L|E_L)$ =

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol $L$ gesendet wurde, wenn der Empfänger keine Entscheidung trifft?

$Pr(S_L|E_K)$ =

Musterlösung

Musterlösung

1.   Nur wenn das Symbol L gesendet wurde, kann sich der Empfänger beim gegebenen Kanal für das Symbol L entscheiden. Die Wahrscheinlichkeit für ein empfangenes L ist allerdings um den Faktor 0.7 kleiner als für ein gesendetes. Daraus folgt:

$$\rm Pr (\it E_{\rm L}) = \rm Pr (\it S_{\rm L}) \cdot \rm Pr (\it E_{\rm L}|\it S_{\rm L}) = \rm 0.3 \cdot 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.21}.$$

2.   Zum Ereignis E_H kommt man sowohl von S_H als auch von S_L aus. Deshalb gilt:

$$\rm Pr (\it E_{\rm H}) = \rm Pr (\it S_{\rm H}) \cdot \rm Pr (\it E_{\rm H}|\it S_{\rm H}) + \rm Pr (\it S_{\rm L}) \cdot\rm Pr (\it E_{\rm H}|\it S_{\rm L}) \\ = \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = \rm 0.66}.$$

3.   Die Ereignisse E_H, E_L und E_K bilden zusammen ein vollständiges System. Daraus folgt:

$$\rm Pr (\it E_{\rm K}) =\rm 1 - \rm Pr (\it E_{\rm L}) - \rm Pr (\it E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$

4.   Eine falsche Entscheidung kann man mengentheoretisch wie folgt charakterisieren:

$$\rm Pr (falsche\hspace{0.1cm}Entscheidung) = Pr (\it S_{\rm L} \cap \it E_{\rm H} \cup \it S_{\rm H} \cap \it E_{\rm L}) = \rm 0.3 \cdot 0.1 + 0.7\cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.03}.$$

5.   Wenn das Symbol L empfangen wurde, kann nur L gesendet worden sein. Daraus folgt:

$$\rm Pr (\it S_{\rm L} | \it E_{\rm L}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 1}.$$

6.   Zur Lösung dieser Aufgabe eignet sich z. B. der Satz von Bayes:

$$\rm Pr (\it S_{\rm L}|\it E_{\rm K}) =\frac{ \rm Pr (\it E_{\rm K} | S_{\rm L}) \cdot \rm Pr (\it S_{\rm L})}{\rm Pr (\it E_{\rm K})} =\frac{ \rm 0.2 \cdot 0.3}{\rm 0.13} = \frac{\rm 6}{\rm 13}\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.462}.$$