Aufgabe 4.10: Binär und quaternär
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Version vom 24. März 2017, 13:30 Uhr von Guenter (Diskussion | Beiträge)
Wir betrachten hier ein Binärsignal $b(t)$ und ein Quarternärsignal $q(t)$, wobei gilt:
- Die beiden Signale sind rechteckförmig, und die Dauer der einzelnen Rechtecke beträgt jeweils $T$ (Symboldauer).
- Die durch die Impulshöhen der einzelnen Rechteckimpulse dargestellten Symbole (mit Stufenzahl $M = 2$ bzw. $M = 4$) sind statistisch unabhängig.
- Wegen der bipolaren Signalkonstellation sind beide Signale gleichsignalfrei, wenn die Symbolwahrscheinlichkeiten geeignet (symmetrisch) gewählt werden.
- Aufgrund der letztgenannten Eigenschaft folgt für die Wahrscheinlichkeiten der Binärsymbole:
- $${\rm Pr}(b(t) = +b_0) = {\rm Pr}(b(t) = -b_0) ={1}/{2}.$$
- Dagegen gelte für das Quarternärsignal:
- $${\rm Pr}(q(t) = +3 \hspace{0.05cm}{\rm V}) = {\rm Pr}(q(t) = -3 \hspace{0.05cm}{\rm V})= {1}/{6},$$
- $${\rm Pr}(q(t) = +1 \hspace{0.05cm}{\rm V}) = {\rm Pr}(q(t) = -1 \hspace{0.05cm}{\rm V})= {2}/{6}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Autokorrelationsfunktion.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- a) Der AKF-Wert an der Stelle τ = 0 entspricht der mittleren Signalleistung, also dem quadratischen Mittelwert von q(t). Für diesen gilt:
- $$\varphi_q(\tau = \rm 0)= \rm \frac{1}{6 } (\rm 3\,V)^2 + \rm \frac{2}{6 } (\rm 1\,V)^2 + \rm \frac{2}{6 } (\rm -1\,V)^2 + \rm \frac{1}{6 } (\rm -3\,V)^2= \rm \frac{22}{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$
- 2. Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabhängig vorausgesetzt. Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier für jeden ganzzahligen Wert von ν:
- $$\rm E \left [ \it q(t) \cdot q ( t + \nu T) \right ] = \rm E \left [ \it q(t) \right ] \cdot E \left [ \it q ( t + \nu T) \right ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
- Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf. Im Bereich -T ≤ τ ≤ T ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig.
- 3. Die AKF φb(τ) des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich |τ| > T ebenfalls identisch 0, und für -T ≤ τ ≤ T ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform.
- Für den quadratischen Mittelwert erhält man:
- $$\varphi_b (\tau = \rm 0) =\it b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$
- Mit b0 = 1.915V sind die beiden Autokorrelationsfunktionen φq(τ) und φb(τ) identisch.
- 4. Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich ermitteln:
- die Periodendauer T0 (diese ist für die Mustersignale und die AKF gleich),
- der lineare Mittelwert (Wurzel aus dem Endwert der AKF für τ → ∞), und
- die Varianz (Differenz der AKF-Werte von τ = 0 und τ → ∞).
- Nicht ermittelt werden können:
- die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (siehe Punkt b und c),
- die Momente höherer Ordnung (für deren Berechnung benötigt man die WDF), sowie
- alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften.
- Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4.