Aufgabe 4.5: Transinformation aus 2D-WDF

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Vorgegeben sind hier die drei unterschiedlichen 2D–Gebiete f_XY(x, y), die in der Aufgabe nach ihren Füllfarben mit

• rote Verbund-WDF
• blaue Verbund-WDF
• grüne Verbund-WDF

bezeichnet werden. In den dargestellten Gebieten gelte jeweils f_XY(x, y) = C = const.

Die Transinformation zwischen den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen X und Y kann unter anderem nach folgender Gleichung berechnet werden: $$I(X;Y) = h(X) + h(Y) - h(XY)\hspace{0.05cm}.$$

Für die hier verwendeten differentiellen Entropien gelten die folgenden Gleichungen: $$h(X) = -\hspace{-0.7cm} \int\limits_{x \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm}{\rm supp}(f_X)} \hspace{-0.55cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} [f_X(x)] \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm},$$ $$h(Y) = -\hspace{-0.7cm} \int\limits_{y \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm}{\rm supp}(f_Y)} \hspace{-0.55cm} f_Y(y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} [f_Y(y)] \hspace{0.1cm}{\rm d}y \hspace{0.05cm},$$ $$h(XY) = \hspace{0.1cm}-\hspace{0.2cm} \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.5cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} (f_{XY}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} [ f_{XY}(x, y) ] \hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$ Für die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen gilt dabei: $$f_X(x) = \hspace{-0.5cm} \int\limits_{\hspace{-0.2cm}y \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} (f_{Y}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.4cm} f_{XY}(x, y) \hspace{0.15cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} f_Y(y) = \hspace{-0.5cm} \int\limits_{\hspace{-0.2cm}x \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} (f_{X}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.4cm} f_{XY}(x, y) \hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.05cm}.$$ Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 4.2. Gegeben seien zudem folgende differentielle Entropien:

• Ist X dreieckverteilt zwischen x_min und x_max, so gilt:

$$h(X) = {\rm log} \hspace{0.1cm} [\hspace{0.05cm}\sqrt[[:Vorlage:\rm e]] \cdot (x_{\rm max} - x_{\rm min})/2\hspace{0.05cm}]\hspace{0.05cm}.$$

• Ist Y gleichverteilt zwischen y_min und y_max, so gilt:

$$h(Y) = {\rm log} \hspace{0.1cm} [\hspace{0.05cm}y_{\rm max} - y_{\rm min}\hspace{0.05cm}]\hspace{0.05cm}.$$

• Alle Ergebnisse sollen in „bit” angegeben werden. Dies erreicht man mit „log”  ⇒  „log₂”.

Fragebogen

1

Wie groß ist die Transinformation der roten Verbund-WDF?

$rote Verbund–WDF: I(X; Y)$ =

2

Wie groß ist die Transinformation der blauen Verbund-WDF?

$blaue Verbund–WDF: I(X; Y)$ =

3

Wie groß ist die Transinformation der grünen Verbund-WDF?

$grüne Verbund–WDF: I(X; Y)$ =

4

Welche Voraussetzungen müssen die Zufallsgrößen X und Y gleichzeitig erfüllen, damit allgemein I(X; Y) = 1/2 · log (e) gilt:

	Die Verbund-WDF fXY(x, y) ergibt ein Parallelogramm.
	Eine der Zufallsgrößen (X oder Y) ist gleichverteilt.
	Die andere Zufallsgröße (Y oder X) ist dreieckverteilt.

Musterlösung

Musterlösung

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