Aufgabe 5.3: PAKF von PN–Sequenzen

M–Sequenz mit P = 15 und zyklische Vertauschungen

Mit einem rückgekoppelten Schieberegister vom Grad $G$ lässt sich eine Spreizfolge $〈c_ν〉$ mit der (maximalen) Periodenlänge $P = 2^G - 1$ erzeugen, wenn die Rückführungskoeffizienten (Anzapfungen) richtig gewählt sind. In dieser Aufgabe wird der in der linken Grafik von Beispiel 1 dargestelle PN–Generator mit der Oktalkennung (31) betrachtet, der eine Folge mit der Periodenlänge $P = 15$ liefert.

Für den Einsatz in einem CDMA–System verwendet man die bipolare (antipodische) Folge 〈$c_ν$〉 mit $c_ν$ ∈ {+1, –1}. In der Grafik sind die unipolare Folge 〈$u_ν$〉 mit $u_ν$ ∈ {0, 1} und daraus abgeleitete zyklische Verschiebungen 〈$u_{ν+λ}$〉 dargestellt, wobei die Verschiebung λ Werte zwischen 1 und 15 annimmt. Eine Verschiebung um λ bedeutet dabei absolut einen Versatz um $λ · T-c$. Hierbei bezeichnet $T_c$ die Chipdauer. Gesucht ist die PAKF (periodische Autokorrelationsfunktion) $${\it \varphi}_{c}(\lambda) = {\rm E} \left [ c_\nu \cdot c_{\nu+\lambda} \right ] \hspace{0.05cm}.$$ Zur Herleitung soll dabei zunächst die PAKF $${\it \varphi}_{u}(\lambda) = {\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \right ]$$ mit den unipolaren Koeffizienten $u_ν$ ∈ {0, 1} berechnet werden. Die Umrechnung der Koeffizienten ist durch $c_ν = 1 – 2u_ν$ gegeben.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel PN–Modulation.
Für die Lösung dieser Aufgabe ist die Angabe der spezifischen Spreizfolge (M–Sequenz oder Walsh–Funktion) nicht von Bedeutung.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 5.3.

Fragebogen

$G$ =

$E[u_ν^2]$ =

$E[u_c^2]$ =

	Es ist $E[u_ν · u_{ν+1}] = 4/15$.
	Es ist $E[u_ν · u_{ν+2}] = 4/15$.
	Die PAKF–Werte $φ_u(λ = 1)$, ... , $φ_u(λ = 14)$ sind alle gleich.

$φ_c(λ)$ =

$φ_c(λ=0)$ =

$φ_c(λ=63)$ =

$φ_c(λ=64)$ =

Musterlösung

1. Die Periodendauer einer M–Sequenz beträgt $$P = 2^G -1 \hspace{0.05cm}.$$ Daraus ergibt sich mit P = 15 der Grad G = 4.

2. Von den P = 15 Spreizbits sind 8 Einsen und 7 Nullen. Damit gilt wegen $u_ν^2 = u_ν$: $${\rm E}\left [ u_\nu \right ] = {\rm E}\left [ u_\nu^2 \right ] = \frac{8}{15} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.533} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm allgemein:}\,\, \frac{P+1}{2P}\hspace{0.05cm}.$$

3. In bipolarer Darstellung ist $c_ν^2$ immer 1. Damit gilt auch für den quadratischen Erwartungswert: $${\rm E}\left [ c_\nu^2 \right ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$

4. Die beigefügte Tabelle macht deutlich, dass für die diskreten PAKF–Werte mit λ = 1, ... , 14 gilt: $${\it \varphi}_{u}(\lambda) = {\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \right ]= \frac{4}{15} \hspace{0.05cm}.$$ Multipliziert man nämlich 〈$u_ν$〉 mit 〈$u_{ν+λ}$〉, wobei für den Index λ wieder die Werte 1, ... , 14 einzusetzen sind, so treten im Produkt jeweils 4 Einsen auf. Dagegen gilt für λ = P = 15: $${\it \varphi}_{u}(\lambda = 15) = {\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+P} \right ]= \frac{8}{15} \hspace{0.05cm}.$$ Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4.

5. Die bipolaren Koeffizienten $c_ν$ ergeben sich aus den unipolaren Koeffizienten uν gemäß der Gleichung $$c_\nu = 1 - 2 \cdot u_\nu \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} u_\nu = 0: c_\nu = +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}u_\nu = 1: c_\nu = -1 \hspace{0.05cm}.$$ Damit folgt aus den Rechenregeln für Erwartungswerte: $${\it \varphi}_{c}(\lambda) = {\rm E} \left [ c_\nu \cdot c_{\nu+\lambda} \right ]= {\rm E} \left [ (1 - 2 \cdot u_\nu ) \cdot (1 - 2 \cdot u_\nu ) \right ] =$$ $$ = 1 + 4 \cdot {\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \right ] - 2 \cdot {\rm E}\left [ u_\nu \right ] - 2 \cdot {\rm E}\left [ u_{\nu+\lambda} \right ] \hspace{0.05cm}.$$ Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe b) $$ {\rm E}\left [ u_{\nu} \right ]= {\rm E}\left [ u_{\nu+\lambda} \right ]=\frac{8}{15} \hspace{0.05cm},$$ und der Teilaufgabe d) $${\rm E}\left [ u_\nu \cdot u_{\nu+\lambda} \right ] =\frac{4}{15} \hspace{0.05cm} \,\,{\rm{f\ddot{u}r}}\,\,\lambda = 0, \pm P, \pm 2P, ...$$ kommt man somit zum Ergebnis (falls λ kein Vielfaches von P): $${\it \varphi}_{c}(\lambda) = 1 + 4 \cdot \frac{4}{15} - 2 \cdot \frac{8}{15}- 2 \cdot \frac{8}{15} \hspace{0.15cm}\underline {\approx - 0.067} = - \frac{1}{15} = - \frac{1}{P} \hspace{0.05cm}.$$

6. Eine M–Sequenz mit Grad G = 6 hat die Periodenlänge P = 63. Entsprechend dem Ergebnis zur Teilaufgabe e) erhält man somit: $$ {\it \varphi}_{c}(\lambda = 0) = {\it \varphi}_{c}(\lambda =63) \hspace{0.15cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {\it \varphi}_{c}(\lambda = 1) = {\it \varphi}_{c}(\lambda =64) \hspace{0.15cm}\underline {= -1/63} \hspace{0.05cm}.$$ Die nachfolgende Grafik zeigt die PAKF einer M–Sequenz allgemein. Für die hier gesuchten Ergebnisse ist P = 63 zu setzen.