Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung

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Idealer Kanalentzerrer

Bei einem Übertragungssystem, dessen Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ starke Verzerrungen hervorruft, gehen wir von folgendem Blockschaltbild (obere Grafik) und äquivalentem Ersatzschaltbild (untere Grafik) aus.

Block- und Ersatzschaltbild zur Berücksichtigung eines Kanalfrequenzgangs

Zu diesen Darstellungen ist Folgendes anzumerken:

• Das Empfangsfilter $H_{\rm E}(f)$ wird – zumindest gedanklich – aus einem idealen Kanalentzerrer $1/H_{\rm K}(f)$ und einem Tiefpass $H_{\rm G}(f)$ zusammengesetzt. Hierfür verwenden wir in diesem Kapitel beispielhaft einen Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G}$.
  

• Verschiebt man nun den idealen Entzerrer – wiederum rein gedanklich – auf die linke Seite der Rauschadditionsstelle, so ändert sich bezüglich dem S/N–Verhältnis an der Sinke und bezüglich der Fehlerwahrscheinlichkeit nichts gegenüber dem oben gezeichneten Blockschaltbild.
  

• Aus dem unteren Ersatzschaltbild erkennt man, dass sich durch den Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ bezüglich des Detektionsnutzsignals $d_{\rm S}(t)$ – herrührend vom Sendesignal $s(t)$ – nichts ändert, wenn man diesen mit $1/H_{\rm K}(f)$ vollständig kompensiert. Das Nutzsignal hat somit die genau gleiche Form wie im Kapitel Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen berechnet.
  

• Die Degradation durch den Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ zeigt sich vielmehr durch eine signifikante Erhöhung der Detektionsstörleistung, also der Varianz des Signals $d_{\rm N}(t)$ – herrührend vom Störsignal $n(t)$:

$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|H_{\rm K}(f)|^2}\cdot |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.$$

• Voraussetzung für eine endliche Störleistung $\sigma_d^2$ ist, dass der Tiefpass $H_{\rm G}(f)$ das Rauschen $n(t)$ bei (sehr) hohen Frequenzen stärker abschwächt, als es vom idealen Entzerrer $1/H_{\rm K}(f)$ angehoben wird.
  
  

Anmerkung: Der Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ muss nach Betrag und Phase entzerrt werden, allerdings nur in einem von $H_{\rm G}(f)$ vorgegebenen eingeschränkten Frequenzbereich. Eine vollständige Phasenentzerrung ist aber nur auf Kosten einer (frequenzunabhängigen) Laufzeit möglich, die im Folgenden nicht weiter berücksichtigt wird.

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten wieder ein Binärsystem mit NRZ–Rechteckimpulsen und gaußförmigem Empfangsfilter $H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)$ mit der (normierten) Grenzfrequenz $f_\text{G, opt} \cdot T = 0.4$. Die mittlere Grafik zeigt für diesen Fall das Augendiagramm des Detektionsnutzsignals $d_{\rm S}(t)$ – also ohne Berücksichtigung des Rauschens. Dieses ist identisch mit dem im Kapitel Definition und Aussagen des Augendiagramms im Beispiel 3, rechte Grafik dargestellten Augendiagramm.

Das linke Augendiagramm ergibt sich bei idealem Kanal, also für $H_{\rm K}(f) = 1$   ⇒   $1/H_{\rm K}(f) = 1$. Es berücksichtigt das AWGN–Rauschen, das aber hier mit $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 30 \ \rm dB$ als sehr klein angenommen wurde. Für diese Konfiguration wurde per Simulation ermittelt:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 26.8\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}< 10^{-40}\hspace{0.05cm}.$$

Dagegen gilt das rechte Diagramm für ein Koaxialkabel, wobei die charakteristische Kabeldämpfung $a_\star = 40 \ \rm dB$ beträgt. Hierfür ergeben sich bei gleichem $E_{\rm B}/N_0$ deutlich ungünstigere Systemgrößen:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx -4.6\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 0.28\hspace{0.05cm}.$$

Binäre Augendiagramme mit Impulsinterferenzen

Dieses Ergebnis kann wie folgt interpretiert werden:

• Unter der Voraussetzung eines idealen Kanalentzerrers $1/H_{\rm K}(f)$ ergibt sich auch beim verzerrenden Kanal das gleiche „Augendiagramm ohne Rauschen” wie beim idealen Kanal $H_{\rm K}(f) = 1$ (siehe mittlere Grafik).
  

• Durch die Kanalentzerrung $1/H_{\rm K}(f)$ wird der Rauschanteil extrem verstärkt. Im rechten Beispiel ist wegen der starken Verzerrung eine eine ebenso starke Entzerrung über einen weiten Frequenzbereich erforderlich. Die Rauschleistung $\sigma_d^2$ ist um den Faktor $1300$ größer als bei der linken Konstellation (keine Verzerrung  ⇒  keine Entzerrung). Damit ergibt sich die Fehlerwahrscheinlichkeit zu $p_{\rm S}\approx p_{\rm U}\approx 50 \%$.
  

• Eine akzeptable Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich nur bei kleinerer Rauschleistungsdichte $N_0$. Beispielsweise erhält man mit mit $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 50 \ \rm dB$ (statt $30 \ \rm dB$) folgendes Ergebnis:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = -4.6 +20 \approx 15.4\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 2 \cdot 10^{-9} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm S} \ge p_{\rm U}/4 \approx 0.5 \cdot 10^{-9}\hspace{0.05cm}.$$

Erhöhung der Rauschleistung durch lineare Entzerrung

Die Augendiagramme auf der letzten Seite dokumentieren eindrucksvoll die Erhöhung der Rauschleistung $\sigma_d^2$ bei unveränderter vertikaler Augenöffnung, wenn man den Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ empfangsseitig durch dessen Inverse kompensiert.

Dieses Ergebnis soll nun anhand der Rauschleistungsdichte ${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f)$ nach dem Empfangsfilter (vor dem Entscheider) interpretiert werden, wobei folgende Einstellungen gelten:

• Der Kanal sei ein Koaxialkabel mit dem Betragsfrequenzgang

$$|H_{\rm K}(f)| = {\rm exp}\left [- a_{\star}\cdot \sqrt{2 f T}\hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm} a_{\star} = 1.7\,\,{\rm Np}\hspace{0.2cm} ({\rm entsprechend} \hspace{0.2cm} 15\,\,{\rm dB}) \hspace{0.05cm}.$$

• Der ideale Kanalentzerrer $1/H_{\rm K}(f)$ kompensiert den Kanalfrequenzgang vollständig. Über die Realisierung der Dämpfungs– und Phasenentzerrung wird hier keine Aussage getroffen.
  

• Zur Rauschleistungsbegrenzung wird ein Gaußtiefpass eingesetzt:

$$|H_{\rm G}(f)| = {\rm exp}\left [- \pi \cdot \left (\frac{f }{2 f_{\rm G}}\right )^2 \right ]\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm} f_{\rm G} = 0.8/T \hspace{0.2cm} {\rm bzw.} \hspace{0.2cm} f_{\rm G} = 0.4/T \hspace{0.05cm}.$$

Damit gilt für die Rauschleistungsdichte vor dem Entscheider:

$${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = \frac{N_0}{2} \cdot \frac{|H_{\rm G }(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2} = \frac{N_0}{2} \cdot {\rm exp}\left [2 \cdot a_{\star}\cdot \sqrt{2 f T} - {\pi}/{2} \cdot \left ({f }/{f_{\rm G}}\right )^2 \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Dieser Verlauf ist nachfolgend für die beiden (normierten) Grenzfrequenzen $f_\text{G} \cdot T = 0.8$ (links) bzw. $f_\text{G} \cdot T = 0.4$ (rechts) dargestellt. Beachten Sie, dass hier aus Darstellungsgründen die charakteristische Kabeldämpfung mit $a_\star = 15 \ \rm dB$ (entsprechend $1.7 \ \rm Np$) deutlich kleiner gewählt ist als beim rechten Augendiagramm auf der letzten Seite (gültig für $a_\star = 40 \ \rm dB$).

Rauschüberhöhung durch verzerrenden Kanal

Betrachten wir zunächst die linke Grafik für die (normierte) Grenzfrequenz $f_\text{G} \cdot T = 0.8$, die nach den Berechnungen im letzten Kapitel für den idealen Kanal   ⇒  $H_{\rm K}(f) = 1$ das Optimum darstellt.

• Gelb hinterlegt ist die konstante Rauschleistungsdichte $N_0/2$ am Empfängereingang. Bei idealem Kanal wird diese durch das gaußförmige Empfangsfilter $H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)$ begrenzt und ergibt die Detektionsrauschleistung $\sigma_d^2$ (in der Grafik durch die blaue Fläche gekennzeichnet).
  

• Werden – wie bei leitungsgebundener Übertragung üblich – höhere Frequenzen stark gedämpft, so steigt $|H_{\rm E}(f)|^2$ aufgrund des idealen Kanalentzerrers sehr stark an, bevor für $f \cdot T \ge 0.6$ (nur gültig für $a_\star = 15 \ \rm dB$ und $f_\text{G} \cdot T = 0.8$) der dämpfende Einfluss des Gaußfilters wirksam wird.
  

• Die Rauschleistung $\sigma_d^2$ ist nun gleich der Fläche unter der roten Kurve, die etwa um den Faktor $28$ größer ist als die blaue Fläche. Die Auswirkungen dieser unterschiedlichen Rauschleistungen erkennt man auch in den Augendiagrammen auf der letzten Seite, allerdings für $a_\star = 40 \ \rm dB$.
  
  

Die rechte Grafik zeigt die Rauschleistungsdichte ${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f)$ für die normierte Grenzfrequenz $f_\text{G} \cdot T = 0.4$. Hier wird die Rauschleistung durch den idealen Kanalentzerrer nur noch um den Faktor $9$ vergrößert (Verhältnis zwischen der Fläche unter der roten Kurve und der blauen Fläche).

$\text{Fazit:}$  Aus obiger Grafik und den bisherigen Erläuterungen geht bereits hervor, dass bei verzerrendem Kanal   ⇒   $H_{\rm K}(f) \ne 1$ die Grenzfrequenz $f_\text{G} \cdot T = 0.8$ des Gaußtiefpasses $H_{\rm G}(f)$ nach dem idealen Kanalentzerrer $1/H_{\rm K}(f)$ nicht mehr optimal sein wird.

Optimierung der Grenzfrequenz

Die Grafik zeigt die Störabstände 10 · lg ρ_d (als Maß für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit p_S) sowie 10 · lg ρ_U (als Maß für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit p_U) in Abhängigkeit der Grenzfrequenz f_G des gaußförmigen Gesamtfrequenzgangs H_G(f) = H_K(f) · H_E(f). Dieses Bild gilt für

• einen koaxialen Übertragungskanal mit der charakteristischen Kabeldämpfung a_∗ = 15 dB,
  

• AWGN–Rauschen mit 10 · lg E_B/N₀ = 27 dB, wobei E_B = s₀² · T zu setzen ist.
  
  

Optimale Grenzfrequenz des GTP bei verzerrendem Kanal

Man erkennt aus dieser Darstellung und durch Vergleich mit der entsprechenden Grafik in Kapitel 3.2, die für H_K(f) = 1 und 10 · lg E_B/N₀ = 13 dB gegolten hat:

• Auch bei stark verzerrendem Kanal ist ρ_U eine geeignete untere Schranke für ρ_d (das heißt, es ist stets ρ_d ≥ ρ_U) und dementsprechend p_U eine sinnvolle obere Schranke für p_S   ⇒   p_U ≥ p_S.

• Bei der hier betrachteten Kabeldämpfung a_∗ = 15 dB ist die Grenzfrequenz f_G · T = 0.55 in etwa optimal und es gilt ö(T_D)/s₀ ≈ 1.327 sowie σ_d/s₀ ≈ 0.106. Daraus ergeben sich der (ungünstigste) Störabstand 10 · lg ρ_U ≈ 15.9 dB und die worst–case–Fehlerwahrscheinlichkeit p_U ≈ 2 · 10^–9.
  

• Eine kleinere Grenzfrequenz würde zu einer deutlich kleineren Augenöffnung führen, ohne dass dadurch auch σ_d gleichermaßen verkleinert wird. Beispielsweise gilt mit f_G · T = 0.4:

\[\ddot{o}/s_0 \approx 0.735,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.072\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 14.1\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.8 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.\]

• Ist die Grenzfrequenz f_G zu groß, so wird das Rauschen weniger effektiv begrenzt. Beispielsweise lauten die Werte für die Grenzfrequenz f_G · T = 0.8:

\[\ddot{o}/s_0 \approx 1.819,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.178\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 14.2\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.7 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.\]

• Das Optimum mit 10 · lg ρ_d ≈ 16.2 dB und 10 · lg ρ_U ≈ 15.9 dB ist deutlich ausgeprägter als bei idealem Kanal. Bei einem Vergleich der Störabstände ist allerdings zu berücksichtigen, dass hier 10 · lg E_B/N₀ = 27 dB zugrunde liegt; im Kapitel 3.2 wurde stets von 13 dB ausgegangen.
  

Optimierung der Grenzfrequenz (2)

Die optimale Grenzfrequenz f_G, opt hängt signifikant von der Stärke der Verzerrungen des Koaxialkabels ab, wie aus der folgenden Grafik hervorgeht (blaue Kreise mit gelber Füllung, linke Achsenbeschriftung). Genauer gesagt: ausschließlich von der charakteristischen Kabeldämpfung a_∗ bei der halben Bitrate.

Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Je größer die charakteristische Kabeldämpfung a_∗ ist und damit auch der Einfluss des Rauschens, um so niedriger ist die optimale Grenzfrequenz f_G,opt.
  

• Allerdings ist f_G, opt stets größer als 0.27/T. Andernfalls würde sich ein geschlossenes Auge ergeben, gleichbedeutend mit der „Worst–case”–Fehlerwahrscheinlichkeit p_U = 0.5.
  
  

Mit roten Rechtecken ist in der Grafik der Systemwirkungsgrad

\[\eta = \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A}}}= \frac{\rho_d}{2 \cdot s_0^2 \cdot T /N_0}\]

als Funktion der charakteristischen Kabeldämpfung a_∗ dargestellt. η gibt das Verhältnis des mit der betrachteten Konfiguration erreichbaren SNR ρ_d zum maximal möglichen S/N-Verhältnis an, wobei als Nebenbedingung der Optimierung von Spitzenwertbegrenzung ausgegangen wird (Anmerkung: In Kapitel 1.4 wurde dieser Systemwirkungsgrad mit η_A bezeichnet).

Wegen der NRZ–Sendeimpulse gilt E_B = s₀² · T. Ersetzt man p_S durch p_U und damit ρ_d durch ρ_U, so lautet obige Gleichung:

\[\eta \approx \frac{\rho_{\rm U}}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.\]

Die Diskussion des Kurvenverlaufs η = η(a_∗) folgt auf der nächsten Seite.

Systemvergleich mittels Systemwirkungsgrad

Die roten Rechtecke geben den Systemwirkungsgrad

\[\eta = \frac{\rho_d}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\approx \frac{\rho_{\rm U}}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\]

in Abhängigkeit von der charakteristischen Kabeldämpfung a_∗ an. Diese Darstellung gilt für

• ein Binärsystem mit NRZ–Sendeimpulsen,
  

• einen koaxialen Übertragungskanal mit der charakteristischen Dämpfung a_∗,
  

• einen gaußförmigen Gesamtfrequenzgang mit jeweils optimierter Grenzfrequenz (blaue Kreise).
  
  

Systemwirkungsgrad in Abhängigkeit der charakteristischen Kabeldämpfung

Wie nun an einigen Zahlenbeispielen verdeutlicht werden soll, vermeidet die Darstellung η = η (a_∗) einige Probleme, die sich aus dem großen Wertebereich von S/N–Verhältnissen ergeben:

• 10 · lg η (a_∗ = 0 dB) = –1.4 dB sagt aus, dass der bestmögliche Gaußtiefpass (f_G · T = 0.8) bei H_K(f) = 1 um 1.4 dB schlechter ist als der optimale (Matched-Filter-) Empfänger.
  

• Gehen wir von H_K(f) = 1 und 10 · lg (E_B/N₀) = 10 dB aus, so besagt die obige Gleichung auch, dass diese Gaußkonfiguration zu folgender (worst-case) Fehlerwahrscheinlichkeit führen wird:

\[10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(2) + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(\eta) \approx \]

\[ \approx 10\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}3\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}1.4\, {\rm dB}= 11.6\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 7 \cdot 10^{-5}\hspace{0.05cm}.\]

• Soll diese (ungünstigste) Fehlerwahrscheinlichkeit p_U = 7 · 10 ^–5  ⇒  10 · lg ρ_U = 11.6 dB bei einem Kanal mit der charakteristischen Kabeldämpfung a_∗ = 80 dB nicht überschritten werden, so muss demnach für das Verhältnis E_B/N₀ gelten:

\[10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} \ge 11.6\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-3\hspace{0.1cm}3\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}(-78.2)\,{\rm dB}= 86.8\,{\rm dB} \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm}{E_{\rm B}}/{N_0}\approx 5 \cdot 10^{8}\hspace{0.05cm}.\]

• Um dies zu erreichen, muss allerdings die Grenzfrequenz des Gaußtiefpasses entsprechend den blauen Kreisen in obiger Gleichung auf f_G = 0.33/T herabgesetzt werden.
  

Aufgaben zum Kapitel

A3.3 Rauschen bei Kanalentzerrung

Zusatzaufgaben:3.3 Koaxialkabelsystem - Optimierung