Frequenzgang und Impulsantwort

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Programmbeschreibung

Dargestellt werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale   ⇒   „Impulse” $x(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen $X(f)$, nämlich

• Gaußimpuls (englisch: Gaussian pulse),
• Rechteckimpuls (englisch: Rectangular pulse),
• Dreieckimpuls (englisch: Triangular pulse),
• Trapezimpuls (englisch: Trapezoidal pulse),
• Cosinus–Rolloff–Impuls (englisch: Cosine-rolloff pulse).

Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung. Die englische Beschreibung finden Sie unter Englische Version: Frequency response & Pulse response.

Weiter ist zu beachten:

• Die Funktionen $x(t)$ bzw. $X(f)$ werden für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm dargestellt.
• Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechten Parametersatz.
• Die Abszissen $t$ (Zeit) und $f$ (Frequenz) sowie die Ordinaten $x(t)$ (Signalwerte) bzw. $X(f)$ (Spektralwerte) sind jeweils normiert.

$\text{Beispiel:}$  Stellt man einen Rechteckimpuls mit Amplitude $A_1 = 1$ und äquivalenter Impulsdauer $\Delta t_1 = 1$ ein, so ist $x_1(t)$ im Bereich $-0.5 < t < +0.5$ gleich $1$ und außerhalb dieses Bereichs gleich $0$. Die Spektralfunktion $X_1(f)$ verläuft si–förmig mit $X_1(f= 0) = 1$ und der ersten Nullstelle bei $f=1$.

Soll mit dieser Einstellung ein Rechteckimpuls mit $A = K = 3 \ \rm V$ und $\Delta t = T = 2 \ \rm ms$ nachgebildet werden, dann sind alle Signalwerte mit $K = 3 \ \rm V$ und alle Spektralwerte mit $K \cdot T = 0.006 \ \rm V/Hz$ zu multiplizieren. Der maximale Spektralwert ist dann $X(f= 0) = 0.006 \ \rm V/Hz$ und die erste Nullstelle liegt bei $f=1/T = 0.5 \ \rm kHz$.

Theoretischer Hintergrund

Frequenzgang $H(f)$ und Impulsantwort $h(t)$

• Der Frequenzgang (oder auch die Übertragungsfunktion eines linearen zeitinvarianten Übertragungssystems $H(f)$ gibt das Verhältnis zwischen Zusammenhang zwischen Zeitfunktion $x(t)$ und dem dem Eingangsspektrum $X(f)$ an:

$$H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}.$$

• Ist das Übertragungsverhalten bei tiefen Frequenzen besser als bei höheren, so spricht man von einem Tiefpass (englisch: Low-pass Filter).
• Die Eigenschaften von $H(f)$ werden im Zeitbereich durch die Impulsantwort $h(t)$ ausgedrückt. Entsprechend dem zweiten Fourierintegral gilt:

$$h(t)={\rm IFT} [H(f)] = \int_{-\infty}^{+\infty}H(f)\cdot {\rm e}^{+{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}f\hspace{1cm} {\rm IFT}\hspace{-0.1cm}: \rm Inverse \ Fouriertransformation.$$

• Die Gegenrichtung wird durch das erste Fourierintegral beschrieben:

$$H(f)={\rm FT} [h(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t\hspace{1cm} \rm FT\hspace{-0.1cm}: \ Fouriertransformation.$$

• In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen. Somit gilt:

$$h(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}H(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ H(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t .$$

• $Bei einem Vierpol   ⇒   $X(f)$ und $Y(f)$ haben gleiche Einheiten ist $Y(f)$ dimensionslos. Die Einheit der Impulsantwort ist $\rm 1/s$. Es gilt zwar $\rm 1/s = 1 \ Hz$, aber die Einheit &Hertz” ist in diesem Zusammenhang unüblich. *Der Zusammenhang zwischen diesem Modul „Frequenzgang & Impulsantwort” und dem ähnlich aufgebauten Applet [[Applets:Impulse_und_Spektren]] basiert auf dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]]. *Alle Zeiten sind auf eine Normierungszeit $T$ normiert und alle Frequenzen auf $1/T \Rightarrow$ die Spektralwerte $X(f)$ müssen noch mit der Normierungszeit $T$ multipliziert werden. <div class="greybox"> $\text{Beispiel:}$  Stellt man einen Rechteckimpuls mit Amplitude $A_1 = 1$ und äquivalenter Impulsdauer $\Delta t_1 = 1$ ein, so ist $x_1(t)$ im Bereich $-0.5 < t < +0.5$ gleich $1$ und außerhalb dieses Bereichs gleich $0$. Die Spektralfunktion $X_1(f)$ verläuft si–förmig mit $X_1(f= 0) = 1$ und der ersten Nullstelle bei $f=1$. Soll mit dieser Einstellung ein Rechteckimpuls mit $A = K = 3 \ \rm V$ und $\Delta t = T = 2 \ \rm ms$ nachgebildet werden, dann sind alle Signalwerte mit $K = 3 \ \rm V$ und alle Spektralwerte mit $K \cdot T = 0.006 \ \rm V/Hz$ zu multiplizieren. Der maximale Spektralwert ist dann $X(f= 0) = 0.006 \ \rm V/Hz$ und die ersteNullstelle liegt bei $f=1/T = 0.5 \ \rm kHz$. <div style="clear:both;"> </div> </div> ==='"`UNIQ--h-4--QINU`"'Gauß–Tiefpass   $\Rightarrow$   Gaussian Low–pass === *Die Zeitfunktion des Gaußimpulses mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet: :'"`UNIQ-MathJax6-QINU`"' *Die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ergibt sich aus dem flächengleichen Rechteck. *Der Wert bei $t = \Delta t/2$ ist um den Faktor $0.456$ kleiner als der Wert bei $t=0$. *Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation: :'"`UNIQ-MathJax7-QINU`"' *Je kleiner die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum   ⇒   [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer]]. *Sowohl $x(t)$ als auch $X(f)$ sind zu keinem $f$- bzw. $t$-Wert exakt gleich Null. *Für praktische Anwendungen kann der Gaußimpuls jedoch in Zeit und Frequenz als begrenzt angenommen werden. Zum Beispiel ist $x(t)$ bereits bei $t=1.5 \Delta t$ auf weniger als $0.1\% $ des Maximums abgefallen. ==='"`UNIQ--h-5--QINU`"'Idealer (rechteckförmiger) Tiefpass   $\Rightarrow$   Rectangular Low–pass === *Die Zeitfunktion des Rechteckimpulses mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet: :'"`UNIQ-MathJax8-QINU`"' *Der $\pm \Delta t/2$–Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert. *Für die Spektralfunktion erhält man entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (1. Fourierintegral): :'"`UNIQ-MathJax9-QINU`"' *Der Spektralwert bei $f=0$ ist gleich der Rechteckfläche der Zeitfunktion. *Die Spektralfunktion besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen $1/\Delta t$. *Das Integral über der Spektralfunktion $X(f)$ ist gleich dem Signalwert zum Zeitpunkt $t=0$, also der Impulsamplitude $K$. ==='"`UNIQ--h-6--QINU`"'Dreieck–Tiefpass $\Rightarrow$ Triangular Low–pass=== *Die Zeitfunktion des Dreieckimpulses mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet: :'"`UNIQ-MathJax10-QINU`"' *Die absolute Zeitdauer ist $2 \cdot \Delta t$; diese ist doppelt so groß als die des Rechtecks. *Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation: :'"`UNIQ-MathJax11-QINU`"' *Obige Zeitfunktion ist gleich der Faltung zweier Rechteckimpulse, jeweils mit Breite $\Delta t$ *Daraus folgt: $X(f)$ beinhaltet anstelle der ${\rm si}$-Funktion die ${\rm si}^2$-Funktion. *$X(f)$ weist somit ebenfalls Nullstellen im äquidistanten Abständen $1/\Delta f$ auf. *Der asymptotische Abfall von $X(f)$ erfolgt hier mit $1/f^2$, während zum Vergleich der Rechteckimpuls mit $1/f$ abfällt. ==='"`UNIQ--h-7--QINU`"'Trapez–Tiefpass   $\Rightarrow$   Trapezoidal Low–pass === Die Zeitfunktion des Trapezimpulses mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet: :'"`UNIQ-MathJax12-QINU`"' *Für die äquivalente Impulsdauer (flächengleiches Rechteck) gilt: $\Delta t = t_1+t_2$. *Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit: :'"`UNIQ-MathJax13-QINU`"' *Der Sonderfall $r=0$ entspricht dem Rechteckimpuls der Sonderfall $r=1$ dem Dreieckimpuls. *Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation: :'"`UNIQ-MathJax14-QINU`"' *Der asymptotische Abfall von $X(f)$ liegt zwischen $1/f$ (für Rechteck, $r=0$) und $1/f^2$ (für Dreieck, $r=1$). ==='"`UNIQ--h-8--QINU`"'Cosinus-Rolloff-Tiefpass   $\Rightarrow$   Cosine-rolloff Low–pass === Die Zeitfunktion des Cosinus-Rolloff-Impulses mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet: :'"`UNIQ-MathJax15-QINU`"' *Für die äquivalente Impulsdauer (flächengleiches Rechteck) gilt: $\Delta t = t_1+t_2$. *Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit: :'"`UNIQ-MathJax16-QINU`"' *Der Sonderfall $r=0$ entspricht dem Rechteckimpuls der Sonderfall $r=1$ dem Cosinus-Quadrat-Impuls . *Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation: :'"`UNIQ-MathJax17-QINU`"' *Je größer der Rolloff-Faktor $r$ ist, desto schneller nimmt $X(f)$ asymptotisch mit $f$ ab. ==='"`UNIQ--h-9--QINU`"'Cosinus-Quadrat-Tiefpass === *Dies ist ein Sonderfall des Cosinus-Rolloff-Impulses und ergibt sich für $r=1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}t_1=0, t_2= \Delta t$: :'"`UNIQ-MathJax18-QINU`"' *Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation: :'"`UNIQ-MathJax19-QINU`"' *Wegen der letzten ${\rm si}$-Funktion ist $X(f)=0$ für alle Vielfachen von $F=1/\Delta t$. Die äquidistanten Nulldurchgänge des Cos-Rolloff-Impulses bleiben erhalten. *Aufgrund des Klammerausdrucks weist $X(f)$ nun weitere Nulldurchgänge bei $f=\pm1.5 F$, $\pm2.5 F$, $\pm3.5 F$, ... auf. *Für die Frequenz $f=\pm F/2$ erhält man die Spektralwerte $K\cdot \Delta t/2$. *Der asymptotische Abfall von $X(f)$ verläuft in diesem Sonderfall mit $1/f^3$. =='"`UNIQ--h-10--QINU`"'Vorschlag für die Versuchsdurchführung== <br> „Rot” bezieht sich stets auf den ersten Parametersatz   ⇒   $x_1(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_1(f)$ und „Blau” den zweiten   ⇒   $x_2(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_2(f)$. <div class="bluebox"> '''(1)'''   Vergleichen Sie den '''roten Gauß–Tiefpass''' $(K_1 = 1, \Delta f_1 = 1)$ mit dem '''blauen Rechteck–Tiefpass''' $(K_1 = 1, \Delta f_1 = 1)$   ⇒   Voreinstellung. und beantworten Sie folgende Fragen:<br> '''(a)'''   Welche Signale $y(t)$ treten am Ausgang der Tiefpässe auf, wenn am Eingang das Signal $x(t) = 2 \cdot \cos (2\pi f_0 t -\varphi_0)$ mit $f_0 = 0.5$ anliegt? '''(b)'''   Welche Unterschiede ergeben sich $f_0 = 0.5 \pm f_\varepsilon$ mit $f_\varepsilon \ne 0, \ f_\varepsilon \to 0$ bei beiden Tiefpässen? <div style="clear:both;"> </div> </div> '''(a)''' In beiden Fällen gilt $y(t) = A \cdot \cos (2\pi f_0 t -\varphi_0)$ mit $A = 2 \cdot H(f = f_0) \ \Rightarrow \ A_1 = 0.912, A_2 = 1.000$. Die Phase $\varphi_0$ bleibt erhalten. '''(b)''' Beim Gauß–Tiefpass gilt weiterhin $ A_1 = 0.912$. Beim Rechteck–Tiefpass ist $A_2 = 0$ für $f_0 = 0.5000\text{...}001$ und $A_2 = 2$ für $f_0 = 0.4999\text{...}999$. <div class="bluebox"> '''(2)'''   Lassen Sie die Einstellungen unverändert. Welcher Tiefpass kann das [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich|erste Nyquistkriterium]] oder das [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Zweites_Nyquistkriterium|zweite Nyquistkriterium]] erfüllen, wenn $H(f)$ den Gesamtfrequenzgang von Sender, Kanal und Empfangsfilter bezeichnet. <div style="clear:both;"> </div> </div> *Um das erste Nyquistkriterium zu erfüllen, muss die Impulsantwort $h(t)$ äquidistante Nulldurchgänge bei Vielfachen der (normierten) Zeit $t = 1, 2$, ... aufweisen. Die Impulsantwort $h(t) = {\rm si}(\pi f/\Delta f)$ des Rechteck–Tiefpasses erfüllt dieses Kriterium mit $\Delta f = 1$. Dagegen ist beim Gauß–Tiefpass das erste Nyquistkriterium nie erfüllt und es kommt immer zu [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|Impulsinterferenzen]]. *Das zweite Nyquistkriterium erfüllt der Rechteck–Tiefpass dagegen nicht. $h(t)$[[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer]]. Je größer die äquivalente Impulsdauer $\Delta t_2$ ist, um so höher und schmäler ist die Spektralfunktion $X_2(f)$. *Da bei jeder Einstellung von $\Delta t_2$ die Zeitsignalwerte bei $t=0$ von $x_1(t)$ und $x_2(t)$ sind auch die Integrale über $X_1(f)$ und $X_2(f)$ identisch. <div class="bluebox"> '''(3)'''   Vergleichen Sie den '''roten Trapez–Tiefpass''' $(K_1 = 1, \Delta f_1 = 1, r_1 = 0.5)$ mit dem '''blauen Rechteck–Tiefpass''' $(K_1 = 1, \Delta f_1 = 1)$ und variieren Sie anschließend $r_1$ zwischen $0$ und $1$. '''(a)'''   Welche Signale $y(t)$ treten am Ausgang der Tiefpässe auf, wenn am Eingang das Signal $x(t) = 2 \cdot \cos (2\pi f_0 t -\varphi_0)$ mit $f_0 = 0.5$ anliegt? '''(b)'''   Welche Unterschiede ergeben sich $f_0 = 0.5 \pm f_\varepsilon$ mit $f_\varepsilon \ne 0, \ f_\varepsilon \to 0$ bei beiden Tiefpässen? <div style="clear:both;"> </div> </div> <div class="bluebox"> '''(3)'''   Vergleichen Sie den '''roten Rechteckimpuls''' $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$ mit dem '''blauen Rechteckimpuls''' $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 0.5)$ und variieren Sie anschließend $\Delta t_2$ zwischen $0.05$ und $2$. Interpretieren Sie die dargestellten Graphen und extrapolieren Sie das Ergebnis. <div style="clear:both;"> </div> </div> *Mit $\Delta t_2 = 0.5$ ist $X_2(f = 0) = X_1(f = 0) = 1$. Das blaue Spektrum ist aber nun doppelt so breit, das heißt, dass sie erste Nullstelle von $X_2(f)$ erst bei $f =2$ auftritt, während $X_1(f)$ die $x$–Achse schon bei $f =1$ schneidet. *Verkleinert man $\Delta t_2$ immer mehr, so wird $X_2(f)$ immer niedriger und breiter. Bei $\Delta t_2 = 0.05$ ist $X_2(f = 0)= 0.1$ und es ergibt sich ein sehr flacher Verlauf. Beispielsweise ist $X_2(f = \pm 3)= 0.096$. *Würde man $\Delta t_2 = \varepsilon$ wählen (was bei dem Programm nicht möglich ist), so wäre im Grenzübergang $\varepsilon \to 0$ das Spektrum $X_2(f)=2 \cdot \varepsilon$ (für $A=2$) bzw. $X_2(f)=\varepsilon$ (für $A=1$) nahezu konstant, aber sehr klein. *Erhöht man dafür die Amplitude auf $A=1/\varepsilon$, so ergibt sich die konstante Spektralfunktion $X_2(f) = 1$ der [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktion]] $\delta(t)$ (im Zeitbereich). *Das bedeutet, dass $\delta(t)$ durch ein Rechteck der Breite $\Delta t = \varepsilon \to 0$ und der Höhe $A = 1/\varepsilon \to \infty$ approximiert werden kann. Die Impulsfläche ist dann Eins, was dem Gewicht der Diracfunktion entspricht:   $x(t) = 1 \cdot \delta (t)$. <div class="bluebox"> '''(4)'''   Vergleichen Sie den '''roten Rechteckimpuls''' $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$ mit dem '''blauen Dreieckimpuls''' $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1)$ und interpretieren Sie deren Spektalfunktionen. <div style="clear:both;"> </div> </div> *Das (normierte) Spektrum des Rechteckimpulses $x_1(t)$ mit den (normierte) Parametern $A_1 = 1$ und $\Delta t_1 = 1$ lautet $X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$. * Faltet man den Rechteckimpuls $x_1(t)$ mit sich selbst, so kommt man zum Dreieckimpuls $x_2(t) = x_1(t) \star x_1(t)$. Nach dem [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich|Faltungssatz]] gilt dann $X_2(f) = X_1(f) \cdot X_1(f) = X_1(f)^2 $. *Durch das Quadrieren der $\rm si$–förmigen Spektralfunktion $X_1(f)$ bleiben die Nullstellen in $X_2(f)$ erhalten. Es gilt aber nun $X_2(f) \ge 0$. <div class="bluebox"> '''(5)'''   Vergleichen Sie den '''roten Trapezimpuls''' $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 0.5)$ mit dem '''blauen Dreieckimpuls''' $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1)$ und und variieren Sie $r_1$ zwischen $0$ und $1$. Interpretieren Sie die Spektalfunktion $X_1(f)$. <div style="clear:both;"> </div> </div> *Der Trapezimpuls mit dem Rolloff-Faktor $r= 0$ ist identsisch mit dem Rechteckimpuls und das „normierte Spektrum” lautet: $X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$. *Der Trapezimpuls mit dem Rolloff-Faktor $r= 1$ ist identsisch mit dem Dreieckimpuls und das „normierte Spektrum” lautet: $X_1(f)= {\rm si}^2(\pi\cdot f)$. *In beiden Fällen besitzt $X_1(f)$ äquidistante Nulldurchgänge bei $\pm 1$, $\pm 2$, ... Sonst gibt es keine Nulldurchgänge. Mit $0 < r_1 < 1$ gibt es dagegen zusätzliche Nulldurchgänge, deren Lagen von $r_1$ abhängen. <div class="bluebox"> '''(6)'''   Vergleichen Sie den '''roten Trapezimpuls''' $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 0.5)$ mit dem '''blauen Cosinus-Rolloff-Impuls''' $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1.0, r_1 = 0.5)$ und und variieren Sie $r_2$ zwischen $0$ und $1$. Interpretieren Sie die Spektalfunktion $X_2(f)$ für $r_2 = 0.7$. <div style="clear:both;"> </div> </div> *Der Vergleich von Trapezimpuls $x_1(t)$ und Cosinus-Rolloff-Impuls $x_2(t)$ bei gleichem Rolloff-Faktor $r= 0.5$ zeigt, dass $X_2(f)$ für $f > 1$ größere betragsmäßige Anteile besitzt als ist $X_1(f)$. *Bei gleichem Rolloff-Faktor $r_1 = r_2= 0.5$ verläuft der Flankenabfall des Cosinus-Rolloff-Impulses $x_2(t)$ um die Frequenz $f = 0.5$ steiler als der Flankenabfall des Trapezimpulses $x_2(t)$. Mit $r_1 = 0.5$ und $r_2 = 0.7$ gilt $x_1(t) \approx x_2(t)$ und damit auch $X_1(f) \approx X_2(f)$. <div class="bluebox"> '''(7)'''   Vergleichen Sie den '''roten Trapezimpuls''' $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 1)$ mit dem '''blauen Cosinus-Rolloff-Impuls''' $(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1.0, r_1 = 1)$. Interpretieren Sie die Funktionen $x_1(t)$ und $X_1(f)$. <div style="clear:both;"> </div> </div> *Es handelt sich bei $x_1(t) = \cos^2(|t|\cdot \pi/2) \ \ \text{für} \ |t| \le 1$ um den [[Applets:Impulse_und_Spektren#Cosinus-Quadrat-Impuls|Cosinus-Quadrat-Impuls]]. *Wegen $\Delta t = 1$ besitzt $X_1(f)$ Nulldurchgänge bei $\pm 1$, $\pm 2$, ... *Weitere Nulldurchgänge gibt es bei $f=\pm 1.5$, $\pm 2.5$, $\pm 3.5$, ... , nicht jedoch bei $\pm 0.5$. *Für die Frequenz $f=\pm 0.5$ erhält man die Spektralwerte $0.5$. *Der asymptotische Abfall von $X_1(f)$ verläuft in diesem Sonderfall mit $1/f^3$.

Zur Handhabung des Programms

fehlt noch

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2005 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder und Klaus Eichin).
• 2017 wurde „Impulse & Spektren” von David Jobst im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: Tasnád Kernetzky) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

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