Aufgabe 1.4: Rayleigh–WDF und Jakes–LDS

Wir betrachten zwei verschiedene Mobilfunkkanäle mit Rayleigh–Fading. In beiden Fällen lässt sich die WDF des Betrags a(t) = |z(t)| ≥ 0 in folgender Weise darstellen:

$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2}{2\sigma^2}] \hspace{0.05cm}.$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Betrag kleiner oder gleich einem vorgegebenen Wert A ist, kann wie folgt berechnet werden:

$${\rm Pr}(|z(t)| \le A) = 1 - {\rm exp} [ -\frac{A^2}{2\sigma^2}] \hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Kanäle, die entsprechend den Farben „Rot” und „Blau” in den Grafiken mit (R) bzw. (B) bezeichnet werden, unterscheiden sich durch die Geschwindigkeit υ und damit in der Form des Leistungsdichtespektrums Φ_z(f_D). In beiden Fällen ergibt sich aber ein Jakes–Spektrum. Für eine Dopplerfrequenz f_D, deren Betrag kleiner als ein Grenzwert <nobr>f_D, max</nobr> ist, lautet die Gleichung:

$${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \frac{1}{\pi \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}\sqrt{ 1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } } \hspace{0.05cm}.$$

Dopplerfrequenzen außerhalb dieses Intervalls von –f_D, max bis +f_D, max sind ausgeschlossen. Die entsprechende Beschreibungsgröße im Zeitbereich ist die Autokorrelationsfunktion (AKF):

$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet J₀(.) die Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung. Es gilt J₀(0) = 1. Vom Kanalmodell (R) ist die maximale Dopplerfrequenz bekannt: f_D, max = 200 Hz. Außerdem ist bekannt, dass sich die Geschwindigkeiten υ_R und υ_B um den Faktor 2 unterscheiden. Ob υ_R doppelt so groß ist als υ_B oder umgekehrt, sollen Sie anhand der obigen Grafiken entscheiden.

Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 1.3. Zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse können Sie folgendes Interaktionsmodul benutzen:
WDF, VTF und Momente

Fragebogen

Musterlösung

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

	Falsch
	Richtig