Aufgabe 1.3Z: Nochmals Rayleigh–Fading?

Dargestellt ist der multiplikative Faktor $z(t) = x(t) + j \cdot y(t)$ zweier Mobilfunkkanäle (beide ohne Mehrwegeausbreitung) in 2D–Darstellung. Als gesichert wird vorgegeben:

Der Kanal R (die Bezeichnung ergibt sich aus der Farbe „Rot” der Punktwolke) ist rayleighverteilt mit $\sigma_{\rm R} = 0.5$.
Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) von Betrag $a(t) = |z(t)|$ bzw. Betragsquadrat $p(t) = |z(t)|^2$ gelten somit die folgenden Gleichungen (mit $\sigma = \sigma_{\rm R}$):

$$f_a(a) = \left\{ \begin{array}{c} a/\sigma^2 \cdot {\rm exp} [ -a^2/(2\sigma^2)] \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} a \ge 0 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} a < 0 \\ \end{array} \hspace{0.05cm},$$

$$f_p(p) = \left\{ \begin{array}{c} 1/(2\sigma^2) \cdot {\rm exp} [ -p/(2\sigma^2)] \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} p \ge 0 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} p < 0 \\ \end{array} .$$

Vom Kanal B („Blau”) ist nur die Punktwolke gegeben. Es ist abzuschätzen, ob hier ebenfalls Rayleigh–Fading vorliegt, und wenn JA, wie groß bei diesem Kanal die Kenngröße $\sigma = \sigma_{\rm B}$ ist.
In der Teilaufgabe 3) wird schließlich auch auf die WDF $f_{\it \phi}(\phi)$ der Phasenfunktion $\phi(t)$ Bezug genommen. Diese ist wie folgt definiert:

$$\phi(t) = \arctan \hspace{0.15cm} \frac{y(t)}{x(t)} \hspace{0.05cm}.$$

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Wahrscheinlichkeitsdichte des Rayleigh–Fadings dieses Buches.
Eine ähnliche Aufgabenstellung wird im Kapitel Weitere Verteilungen des Buches „Stochastische Signaltheorie” behandelt.