Aufgabe 4.09: Entscheidungsregionen bei Laplace
Wir betrachten ein Übertragungssystem, basierend auf den Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$. Die zwei gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte
- $$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$
gegeben. Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu $E = 1$ und erhalten somit
- $$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0\hspace{0.05cm}, $$
- $$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1\hspace{0.05cm}.$$
Die Nachrichten $m_0$ und $m_1$ sind den so festgelegten Signalen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ eindeutig zugeordnet.
Die zwei Rauschkomponenten $n_1(t)$ und $n_2(t)$ seien unabhängig voneinander und jeweils laplace–verteilt mit Parameter $a = 1$:
- $$p_{n_1} (\eta_1) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- | \eta_1|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- | \eta_2|} \hspace{0.05cm}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) = {1}/{4} \cdot {\rm e}^{- | \eta_1|- | \eta_2|} \hspace{0.05cm}. $$
Die Eigenschaften eines solchen Laplace–Rauschens werden in der Aufgabe Z4.9 noch eingehend behandelt.
Das Empfangssignal $\boldsymbol{r}$ setzt sich additiv aus dem Sendesignal $\boldsymbol{s}$ und dem Rauschsignal $\boldsymbol{n}$ zusammen:
- $$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2) \hspace{0.05cm},$$
- $$ \boldsymbol{ s } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} ( s_1, s_2) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\boldsymbol{ n } = ( n_1, n_2) \hspace{0.05cm}. $$
Die entsprechenden Realisierungen sind wie folgt bezeichnet:
- $$\boldsymbol{ s }\hspace{-0.1cm} \ : \ \hspace{-0.1cm} \hspace{0.1cm} (s_{01},s_{02}){\hspace{0.15cm}\rm bzw. \hspace{0.15cm}} (s_{11},s_{12}) \hspace{0.05cm},$$
- $$ \boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ : \ \hspace{-0.1cm} \hspace{0.1cm} (\rho_{1},\rho_{2}) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\boldsymbol{ n }: \hspace{0.1cm} (\eta_{1},\eta_{2}) \hspace{0.05cm}.$$
Die Entscheidungsregel des MAP– und des ML–Empfängers (beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch) lauten:
Entscheide für das Symbol $m_0$, falls
- $$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) > p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}.$$
Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür (Entscheidung für $m_0$) auch geschrieben werden:
- $${1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.1cm} \right ] > {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.1cm} \right ] $$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| < | \rho_1 -1|+ | \rho_2 -1|$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
Auf diese Funktion $L(\rho_1, \rho_2)$ wird in den nachfolgenden Aufgaben häufig Bezug genommen.
Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen ($I_0, I_1$). Bei AWGN–Rauschen wäre nur die obere Variante A optimal. Auch beim hier betrachteten Laplace–Rauschen führt die Variante A zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe Aufgabe Z4.9:
- $$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$
Zu untersuchen ist, ob die Variante B bzw. die Variante C ebenfalls optimal ist, das heißt, ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich $\rho_{\rm min}$ sind.
Hinweis:
- Die Aufgabe bezieht sich auf die letzten Theorieseiten des Kapitels Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit.
Fragebogen
Musterlösung
