Aufgabe 2.1Z: Zur äquivalenten Bitrate

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Quellen- und Codersignal

Die obere Darstellung zeigt das Quellensignal $q(t)$ einer redundanzfreien Binärquelle mit Bitdauer $T_{q}$ und Bitrate $R_{q}$. Die beiden Signalparameter $T_{q}$ und $R_{q}$ können der Skizze entnommen werden.

Dieses Binärsignal wird symbolweise codiert und ergibt das unten gezeichnete Codersignal $c(t)$. Alle möglichen Codesymbole kommen in dem dargestellten Signalausschnitt der Dauer $6 \ \rm \mu s$ vor. Mit der Stufenzahl $M_{c}$ und der Symboldauer $T_{c}$ kann man die äquivalente Bitrate – oder den Informationsfluss – des Codersignals angeben:

$$R_c = \frac{{\rm log_2} (M_c)}{T_c} \hspace{0.05cm}.$$

Daraus erhält man die relative Redundanz des Codes, wenn man wie hier davon ausgeht, dass die Quelle selbst redundanzfrei ist:

$$r_c = \frac{R_c - R_q}{R_c}\hspace{0.05cm}.$$

Hinweis:

Die Aufgabe bezieht sich auf Grundlagen der codierten Übertragung dieses Buches. Bei dem hier betrachteten Übertragungscode handelt es sich um den Bipolarcode zweiter Ordnung, was jedoch für die Lösung dieser Aufgabe nicht von Bedeutung ist.

Fragebogen

1

Geben Sie Bitdauer $(T_{q})$ und Bitrate $(R_{q})$ der Quelle an

$T_{q} \ = \ $ $\ \rm \mu s $

$R_{q} \ = \ $ $\ \rm Mbit/s $

2

Wie groß sind Symboldauer $(T_{c})$ und Stufenzahl $(M_{c})$ des Codersignals?

$T_{c} \ = \ $ $\ \rm \mu s $

$M_{c} \ = \ $

3

Wie groß ist die äquivalente Bitrate $R_{c}$ des Codersignals?

$R_{c} \ = \ $ $\ \rm Mbit/s $

4

Geben Sie die relative Redundanz des Codes an.

$r_{c} \ = \ $ $\ \% $

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Die Bitdauer $T_{q} = \underline{0.5\ \mu s}$ kann der Grafik entnommen werden. Da die Quelle binär und redundanzfrei ist, gilt für die Bitrate der Quelle: $R_{q}= 1/T_{q}\ \underline{= 2\ \rm Mbit/s}$.

(2)  Bei symbolweiser Codierung gilt stets $T_{c} = T_{q}$. Im vorliegenden Beispiel ist somit auch $T_{c}\ \underline{ = 0.5\ \rm \mu s}$. Die Stufenzahl $M_{c}\ \underline{ = 3}$ kann aus der unteren Skizze abgelesen werden.

(3)  Die Symbolrate des Codersignals beträgt $2 \cdot 10^{6}$ Ternärsymbole pro Sekunde. Für die äquivalente Bitrate gilt dagegen:

$$R_c = \frac{{\rm log_2} (M_c)}{T_c} = \frac{{\rm log_2}(3)}{0.5\,\,{\rm \mu s}} = \frac{{\rm lg} (3)}{{\rm lg} (2) \cdot 0.5\,\,{\rm \mu s}}= \frac{1.585\,\,{\rm (bit)}}{0.5\,\,{\rm \mu s}}\hspace{0.15cm} \underline {\approx 3.17\,\,{\rm Mbit/s}} \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Für die relative Coderedundanz gilt bei redundanzfreier Quelle allgemein:

$$ r_c = \frac{R_c - R_q}{R_c} = 1- \frac{R_q}{R_c}= 1- \frac{T_c}{T_q \cdot {\rm log_2} (M_c)}\hspace{0.05cm}.$$

Beim hier betrachteten Biploarcodes 2. Ordnung mit den Parametern $T_{c} = T_{q}$ und $M_{c} = 3$ gilt weiter:

$$r_c = 1- \frac{1}{{\rm log_2} (3)}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 36.9 \% }\hspace{0.05cm}.$$