Aufgabe 5.7Z: Nochmals McCullough-Modell
Wir betrachten wie auch in den Aufgaben A5.6, Z5.6 und A5.7 das Bündelfehler–Kanalmodell nach Gilbert und Elliott (GE–Modell) mit den Kenngrößen
- $$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001, \hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,$$
- $$ p(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.1, \hspace{0.2cm} p(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$
Aus diesen vier Wahrscheinlichkeiten lassen sich die entsprechenden Kenngrößen des Kanalmodells nach McCullough (MC–Modell) so ermitteln, dass beide Modelle die genau gleichen statistischen Eigenschaften besitzen, nämlich
- exakt gleiche Fehlerabstandsverteilung $V_a(k)$,
- exakt gleiche Fehlerkorrelationsfunktion $\varphi_e(k)$.
Die Wahrscheinlichkeiten des MC–Modells wurden in der Aufgabe A5.7 wie folgt ermittelt (Bezeichnungen entsprechend der Grafik zur Aufgabe A5.7, alle mit „$q$” anstelle von „$p$”):
- $$q_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.0061, \hspace{0.2cm}q_{\rm B} = 0.1949,$$
- $$ q(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5528, \hspace{0.2cm} q(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.3724\hspace{0.05cm}.$$
Die obere Grafik zeigt die aus $N = 10^6$ Folgenelementen simulativ ermittelten Funktionen $V_a(k)$ und $\varphi_e(k)$ für das GE– und das MC–Modell. Hier ergeben sich noch leichte Abweichungen. Im Grenzfall für $N → ∞$ stimmen dagegen Fehlerkorrelationsfunktion und Fehlerabstandsverteilung beider Modelle exakt überein.
In dieser Aufgabe sollen nun wichtige Beschreibungsgrößen wie Zustandswahrscheinlichkeiten, mittlere Fehlerwahrscheinlichkeiten und Korrelationsdauer direkt aus den $q$–Parametern des MC–Modells ermittelt werden.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Bündelfehlerkanäle.
- Aus den oben genannten Aufgaben können folgende Ergebnisse weiterverwendet werden:
- Die Zustandswahrscheinlichkeiten des GE–Modells sind
- $$w_{\rm G} = \frac{p(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}{p(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + p(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} w_{\rm B} = 1 - w_{\rm G }\hspace{0.05cm}.$$
- Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit des GE–Modells beträgt
- $$p_{\rm M} = w_{\rm G} \cdot p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B} = \varphi_{e}(k = 0 )\hspace{0.05cm}.$$
- Die Korrelationsdauer des GE–Modells berechnet sich zu
- $$D_{\rm K} =\frac{1}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )}-1 \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Bündelfehlerkanäle.
- Aus den oben genannten Aufgaben können folgende Ergebnisse weiterverwendet werden:
- - Die Zustandswahrscheinlichkeiten des GE–Modells sind
- $$ test $$
- - Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit des GE–Modells beträgt
- $$ test $$
- - Die Korrelationsdauer des GE–Modells berechnet sich zu
- $$ test $$
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