Aufgabe 2.4Z: Fehlerwahrscheinlichkeiten beim Oktalsystem

Oktale „Zufallscodierung” und Graycodierung

Es wird ein Digitalsystem mit $M = 8$ Amplitudenstufen (Oktalsystem) betrachtet, dessen $M – 1 = 7$ Entscheiderschwellen genau bei den jeweiligen Intervallmitten liegen.

Ein jeder der gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu}$ mit $(1 ≤ \mu ≤ 8)$ kann nur in die unmittelbaren Nachbarkoeffizienten $a_{\mu–1}$ bzw. $a_{\mu+1}$ verfälscht werden und zwar in beiden Richtungen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$. Hierzu einige Beispiele:

$a_5$ geht mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ in den Koeffizienten $a_4$ über und mit der gleichen Wahrscheinlichkeit in den Koeffizienten $a_6$.
$a_8$ wird mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ in den Koeffizienten $a_7$ verfälscht. In die andere Richtung ist keine Verfälschung möglich.

Die Zuordnung von jeweils drei binären Quellensymbolen in einen oktalen Amplitudenkoeffizienten geschieht alternativ entsprechend

der zweiten Spalte in der angegebenen Tabelle, die „zufällig” – ohne Strategie – generiert wurde,
der Graycodierung, die in Spalte 3 nur unvollständig angegeben ist und noch ergänzt werden soll.

Angegeben ist der Graycode für $M = 4$. Bei $M = 8$ sind die beiden letzten Binärzeichen an der gestrichelt eingezeichneten Linie zu spiegeln. Für die ersten vier Amplitudenkoeffizienten ist an der ersten Stelle ein L zu ergänzen, für $a_{5}, ..., a_{8}$ das Binärsymbol H.

Für die beiden Zuordnungen „Zufall” und „Gray” sollen berechnet werden:

die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$, die in beiden Fällen gleich ist; diese Größe gibt die mittlere Verfälschungswahrscheinlichkeit eines Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu}$ an,
die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ bezogen auf die (decodierten) Binärsymbole.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Grundlagen der codierten Übertragung.
Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Redundanzfreie Codierung .
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

$ \rm {LHH}\text{:}\hspace{0.4cm} \mu \ = \ $

$ \rm {HLL}\text{:}\hspace{0.45cm} \mu \ = \ $

$p_{\rm S} \ = \ $

$\ \%$

$p_{\rm B} \ = \ $

$\ \%$

$p_{\rm B} \ = \ $

$\ \%$

Musterlösung

(1) Entsprechend der Beschreibung auf der Angabenseite steht „LHH” für den Amplitudenkoeffizienten $a_{3}$ und „HLL” für $a_{8}$.

(2) Die äußeren Koeffizienten ($a_{1}$ und $a_{8}$) werden jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p = 1 \%$ verfälscht, die $M – 2 = 6$ inneren mit der doppelten Wahrscheinlichkeit $(2p)$. Durch Mittelung erhält man:

$$p_{\rm S} = \frac{2 \cdot 1 + 6 \cdot 2} { 8} \cdot p\hspace{0.15cm}\underline { = 1.75 \,\%} \hspace{0.05cm}.$$

(3) Jeder Übertragungsfehler (Symbolfehler) hat beim Graycode genau einen Bitfehler zur Folge. Da jedoch jedes Oktalsymbol drei Binärzeichen beinhaltet, gilt

$$p_{\rm B} ={p_{\rm S}}/ { 3}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.583 \,\%} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Von den insgesamt sieben möglichen Übergängen (jeweils in beiden Richtungen) führen zu

einem Fehler: HLH $\Leftrightarrow$ LLH,
zwei Fehlern: HLL $\Leftrightarrow$ HHH, LLL $\Leftrightarrow$ LHH, HHL $\Leftrightarrow$ HLH, LLH $\Leftrightarrow$ LHL,
drei Fehlern: HHH $\Leftrightarrow$ LLL, LHH $\Leftrightarrow$ HHL.

Daraus folgt:

$$p_{\rm B} = \frac{p} { 3} \cdot \frac{1 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 3} { 7} = \frac{15} { 21} \cdot p \hspace{0.15cm}\underline { = 0.714 \,\%} \hspace{0.05cm}.$$